Лев Семёнович Понтрягин Воспоминания Часть 2. Продолжение Стекловский институт В 1934 году советское правительство приняло решение о переводе Академии наук СССР из Ленинграда в Москву. Теперь такая формулировка выглядела бы странно, поскольку учреждения Академии наук раскиданы по всей России. Но в то время институтов Академии наук было мало и, по-видимому, все они были сосредоточены в Ленинграде. По замыслу Петра I, основавшего Российскую Академию наук, она создавалась как государственное учреждение, призванное работать в контакте с правительством на пользу страны, а не как добровольная почётная организация, какой является, например, английское Королевское общество и, быть может, в какой-то степени французская Академия наук. Таким образом, естественным было местопребыванием Академии наук сделать столицу страны — Петербург. После революции столицей страны стала Москва, естественно было перевести туда и Академию наук. Но это было сделано только в 1934 году, т.е. с большим опозданием. В Москву переводились центральные органы Академии наук: Президиум, её Отделения, а также значительная часть институтов. В том числе — Математический институт Академии наук СССР имени В.А. Стеклова, коротко — Стекловский институт, основателем и руководителем которого был и до сих пор является академик Иван Матвеевич Виноградов. Одной из основных задач, которую ставил перед собой И.М. Виноградов, руководя институтом, было привлечение в него молодых талантов, математиков с хорошей, разумной, по его мнению, математикой. Далеко не все ленинградцы, сотрудники Стекловского института, соглашались переезжать в Москву. Их всячески приманивали, в частности, хорошими жилищными условиями. И всё же не все согласились переехать в Москву. Таким образом, возникала потребность возместить убыль за счёт москвичей. И без того было естественно, раз институт стал московским, привлечь в него значительное количество московских математиков. Среди вновь привлекаемых в институт москвичей назывались шесть, которые рассматривались тогда, как молодые и талантливые. В том числе был и я. Любопытно отметить, что эти шесть человек классифицировались на три пары по их "качеству". На первом месте стояли А. О. Гельфонд и Л. Г. Шнирельман, на втором месте — М.А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник, а на третьем месте — Л.С. Понтрягин и А.И. Плеснер. То, что на первом месте стояли Гельфонд и Шнирельман, было в то время очень естественным. Эта пара составляла обойму, которую называли всегда и везде, когда хотели указать наиболее "талантливых" молодых советских математиков. Но теперь можно поставить вопрос о том, как эта классификация выдержала проверку временем. Шнирельман погиб от психической неполноценности, когда ему едва перевалило за 30 лет. Гельфонд вспыхнул коротким блеском в ранней молодости, решив проблему трансцендентности некоторых чисел. Люстерник вообще не достиг значительных высот, а Плеснер вообще вряд ли был сколько-нибудь значительным математиком. Можно сказать, что проверку временем выдержали только Лаврентьев и Понтрягин. Оба в течение многих лет вели научно-исследовательскую работу на очень высоком уровне и достигли выдающихся научных результатов. А Лаврентьев, кроме того, оказался и выдающимся организатором. Он основал новый русский научно-исследовательский центр в Новосибирске — Сибирское Отделение Академии наук СССР. Недалеко от Новосибирска, на лоне природы был выстроен по инициативе Лаврентьева и под его руководством научно-исследовательский городок, в котором были созданы очень благоприятные бытовые и организационные условия для ведения научной работы. Сибирское Отделение АН СССР получило особый статус АН СССР.   Быть избранным членом этого Отделения было легче, чем членом основных Отделений АН СССР. Но после избрания научный работник обязывался переехать в новосибирский научно-исследовательский городок и вести работу там. В то же время он становился членом основного Отделения Академии наук СССР по своей специальности. Этот особый статус и был главной приманкой для привлечения научных работников в новый научно-исследовательский центр. Создание научного городка под Новосибирском потребовало крупных финансовых вложений со стороны государства. Их Лаврентьев добился, пользуясь своим авторитетом и личными отношениями с Н. С. Хрущёвым, которые возникли у него, когда он был членом Украинской Академии наук и работал в Киеве. Теперь мне трудно сказать, насколько значительным научным центром был Стекловский институт во времена его перевода из Ленинграда в Москву. Но уже тогда Стекловский институт создавал для своих сотрудников особо благоприятные условия, содействующие их научной работе. Они не имели никаких других обязанностей, кроме как заниматься наукой. Большая часть математиков всего мира работает в высших учебных заведениях и кроме научно-исследовательской работы имеет обязанности по преподаванию. В то время я занимал такое же положение в Московском университете, но мои обязанности по преподаванию не только не мешали моей научной работе, но наоборот помогали ей. Я не читал обязательных курсов, а читал лишь необязательные, в которых в значительной степени излагал свои собственные результаты. Кроме того, руководил аспирантами, с которыми также вёл работу, связанную с моей научной тематикой. Мои педагогические обязанности не находились в противоречии с научной работой, а наоборот помогали ей. Вероятно, поэтому предложение перейти в Стекловский институт из университета, переданное мне от дирекции Шнирельманом, не вызвало у меня особого энтузиазма. Конечно, я его считал большой честью, но не стремился воспользоваться. Шнирельман несколько раз возвращался к вопросу о моём переходе в Стекловский институт и наконец сказал, что такого рода приглашения не повторяют много раз и им надо воспользоваться. Но я всё-таки не соглашался покинуть университет и кончилось тем, что я стал работать как в университете, так и в Стекловке с 1934 года. В 1934 году было проведено ещё одно важное государственное мероприятие в области организации науки. Были введены кандидатские и докторские учёные степени, а также звания доцента и профессора. Присвоение учёных степеней и учёных званий научным работникам стало производиться как бы под "государственным" контролем. До этого преподаватель вуза назывался доцентом или профессором по решению того вуза, в котором он работал, в соответствии с исполняемыми им обязанностями. Учёных степеней кандидата и доктора наук вообще не существовало. После их введения в 1934 году присуждение их должно было осуществляться учёными советами на основе защиты диссертаций, соответственно кандидатских и докторских. Но учёные советы сами должны были состоять из кандидатов и докторов наук. Поэтому на первых порах массовый характер приобрело присуждение степеней без защиты диссертаций, как говорят, honoris causa. Помню, как это происходило в университете. Я был членом какого-то совета. Каждый из нас выходил из комнаты, где заседал совет, и, возвращаясь, узнавал, что решили его товарищи: дать ему степень без защиты или нет. Именно так я получил свою степень доктора без защиты диссертации. И в 1935 году получил официальное уведомление, что я утверждён в ней соответствующей организацией — экспертным советом Высшей аттестационной комиссии. * * * В то время мне исполнилось уже 27 лет, и у меня давным-давно возникла трудная проблема — найти себе жену. Случаи, когда девушки моего возраста проявляли ко мне интерес, были ещё во времена моего студенчества. Но я предъявлял к браку особые требования. Я должен крепко любить свою жену! Только любовь, страстная, могла бы отчасти компенсировать моё несчастье. Любимая жена, успех в научной деятельности — и я был бы счастлив! Как и многие другие, я долгое время считал, что судьба человека слагается из двух главных частей: профессии и личной жизни, т.е. брака, семьи. Значительно позже я понял, что участие в общественной жизни также играет в нашей жизни немаловажное значение. Несмотря на потерю зрения, я успешно справился с профессией. В этом, думается мне, сыграла роль не только одарённость, но и чрезвычайное трудолюбие, а также, по-видимому, стечение благоприятных обстоятельств. Что касается второй проблемы, которая стала для меня проблемой номер один, то решить мне её никак не удавалось. И это тоже служило стимулом для напряжённой работы в области науки. Здесь на пути у меня стояло несколько трудностей. Первая — очевидная: нелегко женщине решиться на брак с человеком, который не видит. Вторая — менее очевидная, заключалась в том, что привлекательность женщины определяется не только её характером, повадками и голосом, но также и физическим обликом. На горьком опыте я убедился, что физический облик играет для меня существенную роль и что на чужое мнение полагаться нельзя. Были случаи, когда женщина, казавшаяся мне необыкновенно привлекательной, оказывалась совершенно неприемлемой, как только я приходил в самое поверхностное физическое соприкосновение с ней.   Если я имел дело с девушкой, которая, возможно, согласилась бы стать моей женой, я не решался переступить ту грань, которая позволила бы мне сделать заключение о её физическом облике, так как считал, что такие действия слишком меня обязывают. Немалые трудности на пути вступления в брак создавала моя мать, о чём я уже говорил раньше. Благодаря всему этому я вступил в удачный брак с любимой женщиной только в возрасте 49 лет, а до этого пережил неудачный брак. * * * После того как Академия наук была переведена в Москву и я стал сотрудником академического института, Академия наук в некоторой степени стала привлекать моё внимание. Во всяком случае, до этого я о ней либо просто не знал, либо не думал, а теперь она стала меня несколько интересовать. Занимал или, скорее, забавлял процесс выдвижения на выборы в Академию наук, который происходил на заседаниях Московского математического общества. Мы, молодёжь, члены Московского математического общества, устраивали нечто вроде тотализатора, следя за тем, кто из кандидатов, выдвигаемых на заседании общества, получит больше голосов. Членом Московского математического общества я стал в очень молодом возрасте, и моё избрание сопровождалось одним любопытным психологическим эффектом, явлением. Согласно правилам, для того чтобы быть избранным, нужно было сделать на заседании общества доклад. И вот однажды Александров предложил мне сделать доклад. Не помню, был ли я тогда студентом или уже аспирантом. Была выбрана одна из моих многочисленных работ, и её название включили в повестку заседания. Доклад на обществе я считал за большую честь и стал тщательно к нему готовиться. И вот после некоторого времени я выяснил, что в доказательстве результата имеется ошибка! Промучившись целые сутки, пришёл в полное отчаяние: исправить ошибку никак не удавалось. Кончилось тем, что я позвонил Александрову и сообщил о своей беде. Он сказал: "Ничего. Мы изменим название доклада, и Вы расскажете другую работу". Ровно через час после того, как это решение было принято, ошибка мною была исправлена. Работа была доложена на заседании общества, и я стал его членом. Я не помню ничего примечательного о первых годах своего пребывания в Стекловском институте. По-прежнему усердно занимался научной работой, которая числилась, вероятно, по Стекловскому институту, и одновременно преподавал в университете, читая там спецкурсы и ведя семинары. Насколько помню, в 1935 году я начал писать свою первую книгу "Непрерывные группы" 9, в которой решил изложить свои результаты по топологическим группам, а также хорошо известные результаты по группам Ли. Их я тщательно переработал для семинаров и лекций в Московском университете. Когда начинал писать книгу, я не представлял себе, какая это будет огромная работа. Она продолжалась два года, и если бы я предвидел её размеры, то, возможно, не решился бы на такой труд. Писание осуществлялось следующим образом: в течение недели я сам писал на машинке страниц 30, пропуская места для формул, а в воскресенье приходила одна моя знакомая и вписывала формулы, которые я должен был помнить. Это, конечно, была огромная нагрузка на память. Кроме того, на этой книге я должен был отработать свой стиль изложения. До этого бо́льшая часть моих работ оформлялась для публикации П.С. Александровым. После того как я написал уже значительный кусок книги и стал продвигаться дальше, мне пришлось переписывать всё начало заново. Здесь я столкнулся с той трудностью, которая встречается нередко при писании книги. Она заключается в том, что когда вы доходите, например, до пятой главы, то вдруг обнаруживается, что первая глава написана не так, как это бы нужно для пятой, и приходится всё переделывать заново. Некоторые авторы пытаются приспособить пятую главу к тому, что было написано в первой, но я менял начало и добивался такого изложения, которое казалось мне совершенным. Книга была закончена в 1937 году, я сдал её в издательство. На одном из заседаний совета Стекловского института Борис Николаевич Делоне вдруг заявил примерно следующее: "Мы должны отметить важное математическое событие — Понтрягин закончил большую книгу". Я даже понятия не имел, откуда Делоне об этом знал. Ведь книжка не стояла в плане работ института. Хочу отметить, что я никогда не был особенно близок с Делоне, он же всегда относился ко мне с благожелательным интересом. Не знаю как, но раньше, чем книжка вышла из печати, о том, что она написана, узнал Лефшец. Он прислал мне предложение опубликовать её в издательстве Принстонского университета. Тогда не было чётких правил об отправке рукописей за границу. И я решил отправить рукопись не сам, а через институт. Здесь у меня возникли сложные перипетии с учёным секретарем института Б. И. Сегалом, который никак не хотел отправлять рукопись. Я его спросил, почему он этого не делает, он сказал: "А Вы же сами вот не отправляете рукопись, почему Вы хотите, чтобы я это делал". Боялся. В конце концов, рукопись я отправил, и перевод книжки появился в Соединённых Штатах.   Книга оказалась удачной. При моих поездках за границу при встрече с новым математиком обычно я слышал от него, что он имеет эту книжку и что он по ней учился и т.д. Когда были учреждены Сталинские премии, то в первый же год их присуждения книга была выдвинута Стекловским институтом на премию и получила премию второй степени. Это было 50 тысяч рублей, которые я получил перед самой войной. Эти деньги очень помогли нам во время войны! Как только началась война, все вклады на сберкнижках были законсервированы. С каждой сберкнижки можно было взять в месяц не более 200 рублей. А Сталинская премия отличалась от них тем, что каждый месяц можно было брать 1000 рублей. Эти деньги помогли нам перенести эвакуацию. Цены на пищу росли с чудовищной быстротой, и эти 1000 рублей в месяц помогали нам удовлетворительно питаться в Казани в эвакуации. К концу войны деньги были полностью израсходованы. * * * В течение многих лет моего пребывания в институте я мало имел дело с его директором И.М. Виноградовым. С ним мне приходилось сталкиваться только тогда, когда я хотел взять нового сотрудника в свой отдел. И тут всегда возникали трудности. Против каждого моего предложения он вначале резко возражал. Я довольно долго думал, что в этом было и нечто положительное, так как возражения вынуждали тщательно обсуждать каждую кандидатуру. Но теперь я думаю, что Виноградов, принимая во внимание мои научные достижения, мог бы больше доверять мне. А главное, он вёл обсуждение кандидатур в несколько издевательском тоне. Трудности были при обсуждении кандидатуры Евгения Фроловича Мищенко (возражения Виноградова были нелепыми), который впоследствии стал заместителем самого же Виноградова по Стекловке и вот уже более 25 лет пребывает на этом посту. Совсем недавно, когда я уже проработал в институте более 50 лет и, казалось, заслужил полного доверия, Виноградов упорно не хотел брать в мой отдел рекомендуемого мною Александра Сергеевича Мищенко. Возражения были тоже нелепые. Александр Сергеевич тоже в конце концов был взят и оказался весьма полезным для отдела и института сотрудником. Итак, каждого человека Виноградов упорно сопротивлялся брать, а я упорно настаивал. Правда, в этом поведении директора есть своя логика. Благодаря этому институт не разросся до тысячи и более, как другие НИИ, а насчитывает научных сотрудников несколько более сотни. Стекловский институт оказывает существенное влияние на всю математическую жизнь страны. Авторитет его сотрудников и, главным образом, исключительно высокий авторитет его директора позволяют оказывать влияние на такие области деятельности, как издание книг, поездки за границу, выборы в Академию наук и тому подобное. Виноградов очень любит, чтобы к нему приходили за советом, как сотрудники института, так и другие математики. И они это охотно делают, так как он может оказать помощь, посодействовать новым начинаниям. Но бывают такие случаи, когда Виноградов вдруг оказывается резко настроен против какого-нибудь математика и всячески его преследует и травит. Причём, на мой взгляд, это делается не всегда осмысленно и разумно. В заключение нужно сказать, что Стекловский институт является детищем Виноградова. Несмотря на свою немногочисленность — там около 150 научных сотрудников, — он является одним из важнейших международных центров математики и пользуется во всем мире большим авторитетом. Не помню точно, в каком это было году, но сравнительно скоро после моего поступления в институт, Виноградов решил назначить меня заведующим отделом топологии. На предварительное обсуждение вопроса собралось довольно много математиков, не знаю были они сотрудниками института или нет. Во всяком случае, присутствовали Александров, Колмогоров, Яновская.   Помню о них, потому что они резко возражали против назначения меня заведующим отделом. Колмогоров даже внёс такое предложение: следует пригласить на заведование А.А. Маркова из Ленинграда, Понтрягину будет трудно заведовать, так как он не видит. К этому соображению присоединилась и Яновская. Я резко возражал против этого. Несмотря на возражения этих лиц, дело кончилось тем, что Виноградов назначил меня заведующим отделом. Это произошло в сентябре 39-го года. Что касается воздействия на математическую жизнь страны, то в этой части деятельности института я почти не принимал участия в течение многих лет, будучи полностью поглощён научной работой, а стал заниматься этими вещами только начиная с 1968 года. И здесь Виноградов помогал многим моим начинаниям. Я стал его союзником и помощником во многих делах. Мы действовали совместно и в полном согласии в течение примерно десяти лет, но в последнее время это согласие несколько нарушилось, так как Виноградов стал требовать от меня полного подчинения. И, кроме того, стал заботиться о том, чтобы я не приобрёл чересчур большое влияние на ход событий. П.С. Александров И Н.Н. Лузин Вернусь теперь к 1936 году. Этот год очень памятен мне по острому конфликту, который у меня произошёл с моим учителем П.С. Александровым, и по различным обстоятельствам, примыкающим к этому конфликту. Конфликт не привёл к разрыву и порче отношений, но характер их резко изменился. До этого Александров, конечно, видел, что я способный математик, и, вероятно, даже гордился мною, как своим учеником, но как-то не мог воспринять меня как взрослого человека, уже самостоятельного учёного. Поэтому были случаи, когда он третировал меня как мальчишку, что проявилось особенно резко в 1936 году и привело к резкому отпору с моей стороны. В 1936 году я как раз получил свои результаты по классификации отображений сферы Sn+1 размерности n+1 на сферу размерности n при n>2. Я установил, что существуют ровно два класса отображений. Этот результат совершенно поразил меня своей неожиданностью, так как ранее имевшиеся результаты давали счётное число классов для отображения n-мерной сферы на n-мерную и трёхмерной сферы на двухмерную. Результат казался мне столь поразительным, что я страстно желал сформулировать его перед какой-нибудь аудиторией, хотя бы небольшой. Конечно, без всякого доказательства, которое на первых порах было чрезвычайно сложным. И вот перед заседанием топологического кружка, на котором должен был делать доклад Э. Кольман, партийный деятель из МК, математик и философ, я попросил у Александрова разрешения сформулировать мой результат после доклада Кольмана, на что пошло бы не более пяти минут. Кольман закончил доклад. Александров закрыл семинар, не предоставив мне слова. Я подошёл к нему после закрытия семинара и спросил, в чём дело. Он сказал, что забыл, но теперь сделает даже лучше: предоставит мне слово на Математическом обществе, которое должно состояться вечером того же дня. На Математическом обществе происходили выборы правления. Александров, президент общества, даже поиздевался немножко надо мной, сказав, что вот мы возьмём да и выберем Понтрягина в члены правления, чего, конечно, не произошло, хотя моя кандидатура и баллотировалась.   Александров опять обещал предоставить мне слово по окончании выборов правления, после чего должен был состояться какой-то плановый доклад. Но слова он мне и тут не предоставил, а сразу перешёл к плановому докладу. Я уже не стал спрашивать, в чём дело, а решил сам, что Александров преднамеренно не даёт мне сообщить о моём хорошем результате, так как, исходя из него, я могу составить конкуренцию его поездке на предстоящий в этом году Международный конгресс математиков в Осло. На конгресс, правда, никто не поехал неизвестно по каким причинам. Но до того как стало известно, что советская делегация не едет в Осло, я обратился к Александрову с просьбой рассказать мой результат на конгрессе от моего имени. Прецедент уже был: на предыдущем конгрессе в Цюрихе в 1932 году он изложил мои результаты по теореме двойственности Александера. Но Александров в резкой форме отказал мне. Всё это вызвало у меня острое раздражение против Александрова, которое уже накапливалось и раньше. Я стал думать о том, как бы мне дать отпор. В 1936 году произошло совершенно поразительное, незаурядное событие в жизни советских математиков 22. Внезапно, по-видимому неожиданно для всех, в центральной газете, кажется в "Правде", появилась статья с грубыми нападками на выдающегося русского математика Николая Николаевича Лузина. Она называлась "Маска сорвана" 23. Не помню точно, в чём обвинялся Лузин, но в статье содержалась фраза: "Он вёл себя со всем подобострастием, но и со всею наглостью лакея". Это событие обсуждалось в кулуарах, а затем на очень большом официальном собрании математиков. Одним из мест кулуарных обсуждений был "математический салон", который в то время держала одна дама, весьма почтенного возраста. Фамилию я её не помню, помню только имя и отчество: Софья Моисеевна.   В этом "салоне" принимались различные математики, но в основном это были Л. А. Тумаркин, А. О. Гельфонд, Л. Г. Шнирельман, а затем присоединился и я. Софья Моисеевна утверждала, что у неё сохранились старые связи с такими выдающимися деятелями, как В. В. Куйбышев. Однажды, когда я пришёл к ней с своею мамой, Софья Моисеевна даже имела телефонный разговор с Куйбышевым. Конечно, мы слышали только то, что говорила она, и голоса Куйбышева не слышали. После ухода от Софьи Моисеевны моя мать сказала мне, что всё это ложь и трёп, и чистое кривлянье. Никаких отношений с Куйбышевым она не имеет. Именно здесь мы обсуждали событие с Лузиным, и у некоторых возникло подозрение, что среди организаторов письма мог быть П.С. Александров. Мы хорошо знали, что у Александрова с Лузиным были отвратительные отношения. Хотя Александров был ученик Лузина, они грубо враждовали между собой. Так как источником информации об этой вражде был Александров, естественно, я был его сторонником. Но после того как Александров так бессовестно поступил со мной и, возможно, я подумал, так же с Лузиным, я начал колебаться — кто из них прав. Однажды, когда меня качнуло в сторону Лузина, я совершил неосторожный поступок: позвонил Лузину и как бы выразил этим ему своё сочувствие. Об этом телефонном разговоре, конечно, стало известно от Лузина некоторым другим математикам. Александров был учеником Лузина. Он, несомненно, очень многому научился от Лузина и в течение длительного времени был под его сильнейшим влиянием. Но к тому времени, когда я стал разговаривать с Александровым о Лузине, эти два человека находились уже в состоянии непримиримой ненависти. Я был учеником Александрова и очень многому от него научился. В течение ряда лет я находился под обаянием его личности, можно сказать, просто обожал его. Но к 1936 году у меня уже накопились многочисленные обиды на П.С. Александрова, которые завершили последние тяжёлые обиды, когда он не дал мне рассказать об увлёкших меня результатах ни на топологическом кружке, ни на Математическом обществе, причём, как я думал тогда, и, вероятно, это правильно, он не дал мне слово предумышленно.   Обида была настолько велика, что я был полон решимости дать отпор Александрову и показать ему, что я уже не мальчишка, а самостоятельный учёный, могущий дать ему сдачи. На этих двух примерах видно, что проблема "отцов и детей" имеет место также в интеллектуальной области. У меня было довольно много учеников. Из них некоторые стали хорошими математиками. Это Д. В. Аносов, В. Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, М. М. Постников, В.А. Рохлин и некоторые другие. Взаимоотношения с моими учениками заканчивались по-разному. Иногда охлаждением. Либо даже конфронтацией. Дружеские отношения сохранились пока только с Р.В. Гамкрелидзе. Нельзя, однако, считать, что такое развитие отношений между учителем и учеником является обязательной закономерностью. Бывают случаи, когда ученик остается под влиянием учителя большую часть своей жизни, может быть даже и всю жизнь. Ученик должен становиться самостоятельным человеком и независимым учёным. А в ряде случаев мы наблюдаем другое явление, когда ученик остается послушным своему учителю почти всю жизнь. В этом нет ничего хорошего. Н.Н. Лузин сыграл в развитии советской математики выдающуюся роль. Он оказал огромное влияние на создание Московской математической школы. Я почти не был знаком с Лузиным, встречался с ним едва ли несколько раз. Но много знал о нём по рассказам других математиков. Начиная с 20-х годов Лузин имел многочисленную группу учеников, находившихся под сильнейшим его влиянием и носивших вместе название "Лузитания". Среди его учеников такие выдающиеся учёные, как П.С. Александров, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, Д. Е. Меньшов и многие другие 24. Среди учеников Лузина были и женщины, наиболее значительное лицо из них — Н. К. Бари, которая якобы была влюблена в Лузина. Стоит отметить, что Лузин имел большой успех у женщин и весьма широко пользовался им. Лузин был сложной личностью. Наряду с положительными качествами, которые позволяли ему оказать огромное влияние на развитие нашей математики, в нём было что-то отрицательное и неприятное. Например, о топологии, которой стал заниматься П.С. Александров, Лузин говорил: "Это же не математика, это — ботаника..." В нём не было простоты и естественности человеческого поведения. Его обаяние опиралось в значительной степени на театральность и искусственность. Для иллюстрации приведу ещё одну цитату из его лекции: "Перед нашим интеллектуальным взором развертывается ландшафт необычайной красоты". Натуре Лузина не чуждо было и грубое лицемерие, и лживость. Этим, я думаю, объясняется появление в центральной прессе статьи "Маска сорвана", посвящённой Лузину. Кому-то он досадил — так говорили тогда, но более конкретных соображений о причинах появления этой статьи я ни от кого не слышал. В связи с этой статьей в Академии наук было устроено нечто вроде разбирательства "дела Лузина", на котором он давал ответы на вопросы о своём поведении. Я присутствовал на этих собраниях. Общее впечатление было неприятное, даже омерзительное. В связи со статьей было много разных толков о Н.Н. Лузине, некоторые из которых я считаю вполне достоверными. Сейчас я вспоминаю некоторые происшествия с Лузиным, времени более позднего, чем 1936 год.   Расскажу о некоторых эпизодах из жизни Лузина, которые сейчас вспоминаются мне Колмогоров был избран академиком в 1939 году, а Александров — только в 1953 году. За весь этот период Колмогоров прилагал все усилия, чтобы провести Александрова в академики. И вот однажды перед очередными выборами Колмогоров пришёл ко мне домой, чтобы посоветоваться о предстоящих выборах. Он рассказал мне, что Лузин, живший тогда в санатории Болшево, вблизи дач Александрова и Колмогорова, специально пришёл к ним и предложил свою поддержку Александрову на выборах.   Просил ли он за эту поддержку чего-нибудь, я не знаю. Колмогоров об этом ничего не сказал. Колмогоров просил моего совета: можно ли полагаться на Лузина. Я искренне думал, что Лузин не обманет, как же иначе! Он обещал! И сказал Колмогорову: "Будьте уверены, Лузин Вас не обманет". Через некоторое время после того, как выборы произошли, в институте появилось странное распоряжение дирекции: Колмогоров на три месяца переводился из заведующего отделом в старшие научные сотрудники. Основанием было распоряжение Президента Академии наук СССР. Причина этого понижения Колмогорова в должности на три месяца скоро выяснилась. Лузин, который обещал Александрову поддержку, произнёс на выборах примерно следующую речь: "Если мы хотим выбрать выдающегося математика и прикладника, то должны голосовать за Петровского, если мы хотим выбрать выдающегося теоретика, то должны голосовать за Чеботарёва, ну а если мы интересуемся философом, то можем выбрать Александрова". Такая речь никак не могла рассматриваться как поддержка кандидатуры Александрова. Выйдя в коридор после этого, Колмогоров стал попрекать Лузина в обмане. А тот сказал ему: "Голубчик, успокойтесь, не волнуйтесь, вам надо обратиться к врачу". И начал похлопывать его не то по плечу, не то по руке. Колмогоров пришёл в ярость и сказал: "Что же вы хотите, чтобы я вам в физиономию плюнул или по морде дал!" А Лузин продолжал свои уговоры: "Обратитесь к врачу". Тогда Колмогоров не выдержал и ударил его по лицу. Так как при этом присутствовало мало народу, то тут же было решено, что эпизод останется в тайне и никому не будет сообщён. Однако произошло совсем другое: Лузин надел на лицо повязку, пошёл к Президенту жаловаться и рассказал о случившемся. В результате Президент был вынужден отдать распоряжение о репрессиях против Колмогорова. Таков был случай с лицемерным поведением Лузина, о котором тогда всем стало известно. Шнирельман рассказывал мне, что Лузин едва не загубил его как математика в самом начале его пребывания в университете. Лузин читал на первом курсе "Высшую алгебру". Хотя это не была его специальность, но он делал это для привлечения к себе студентов. Лузин обратил внимание на Шнирельмана и предложил ему заняться решением континуум-проблемы. При этом он сказал: "Бросьте все лекции, ничему не учитесь и только думайте об этой проблеме". Шнирельман, конечно, ничего не мог придумать по континуум-проблеме, а занятия он прекратил на целый год. При встречах Лузин говорил ему: "Ну, что? Вы думаете? Думайте! Думайте!" Шнирельман не смел сказать, что он не знает, что думать. Занятия в университете он прекратил на целый год и с большим трудом вошёл потом в курс нормального обучения. Талант Лузина как Учителя "с большой буквы", по-видимому, далеко превосходил его талант как творческого математика. Отсюда его трагедия. Его ученики часто начинали быстро превосходить его в своих достижениях и уходили из его области в более значительные разделы математики. Он ревниво относился ко всему этому, и возникали враждебные отношения с учениками. Такая ревность возникла у Лузина к молодому талантливому математику Суслину, который просто решил одну из выдвинутых им проблем, кажется даже не будучи его учеником. У Лузина возникла ревность к Суслину. Суслин после окончания университета начал искать себе работу, что в те времена было нелегко.   При поисках работы он ездил по провинциальным университетам, но оказалось, что во всех этих университетах уже имеется письмо Лузина, в котором он резко отвергает кандидатуру Суслина как преподавателя. О наличии такого письма рассказывал мне А.А. Андронов. Оно было в университете в Горьком. Кончилось всё это трагически. Суслин в своих путешествиях заразился сыпным тифом и умер. Об этом случае с Суслиным Лузин рассказывал на его обсуждениях в Академии наук. Излагал он дело так. — Суслин — талантливый математик. Но вдруг он перестал заниматься математикой и купил себе шубу и стал думать совсем о другом. Тогда я решил пресечь его стремление к материальным благам и старался не дать ему поступить на работу, с тем чтобы он занимался математикой. И вот тогда произошёл этот ужас — смерть Суслина... Вернусь теперь к моим отношениям с П.С. Александровым. П.С. Александров не обладал столь резко выраженными отрицательными чертами, как Лузин. Но всё же некоторые неприятные черты в его характере были. Я расскажу о некоторых, которые шокировали меня. Александров очень по-разному относился к людям выше его стоящим и ниже стоящим. К первым он относился с подобострастием, ко вторым — с высокомерием. Самой неприятной чертой П.С. Александрова было для меня то, в каких неумеренных тонах восхвалял он мои работы публично. Это восхваление было столь неумеренным, что сразу производило впечатление фальши. Подобострастное отношение Александрова к вышестоящим особенно было видно на отношении его к академикам, которым он просто подхалимствовал, желая быть избранным. Размышляя в то время об этих людях — Лузине и Александрове, я почувствовал, что не могу стать на сторону ни того, ни другого. Я уже говорил о том, что мне казалось, что я должен сделать выбор между Лузиным и Александровым. После статьи "Маска сорвана" было устроено обширное собрание математиков, как я уже говорил, на котором должно было быть обсуждение статьи и "поведения Лузина", поскольку статья появилась в центральной прессе. Так тогда полагалось. Ко мне обратились с просьбой выступить. В качестве молодого учёного я должен был высказать своё мнение о поведении Лузина. К этому моменту мои позиции по отношению к Лузину и Александрову были уже ясны, и я с готовностью согласился выступить на общем собрании. Моё выступление было первым. Смысл его заключался в том, что Лузин стал таким не сам по себе, а благодаря тому, что был окружен подхалимством. А в качестве главного подхалима я описал П.С. Александрова, не называя его имени 25. Моё выступление было встречено бурными аплодисментами, а после него Александров подошёл, сел со мной рядом и поблагодарил меня за указание на те ошибки, которые он совершил. И с тех пор наши отношения стали равноправными. Выступление на этом собрании было первое моё большое публичное выступление. Должен признаться, что, произнося свою речь, я трепетал от волнения, опасаясь, что кто-нибудь из присутствующих встанет, сообщит о моём телефонном звонке Лузину и обвинит меня в двурушничестве, которого по существу не было. Была раздвоенность. Но на собрании никто ничего не сказал. Однако моё поведение некоторыми было расценено как сомнительное. Я узнал об этом совершенно чётко из разговора с Андроновым. Он спросил меня, верно ли, что я звонил Лузину. И когда я сказал, что, да, звонил, он сказал: "А понимаете ли Вы, в какое положение Вы себя поставили? Ведь это же сомнительный поступок: после такого звонка произносить такую речь, какую вы произнесли".   Я сказал, что я понимаю. Но я действовал не из соображений подхалимажа, а совершенно искренне. Это были просто колебания в моей оценке происходящего. Андронов понял меня. То же действие дало мне возможность выяснить недоброжелательное отношение ко мне Ефремовича. Ефремович рассказал Колмогорову и Александрову о моём том телефонном звонке Лузину. Хочу сказать, что со стороны Ефремовича рассказать о моём действии Александрову и Колмогорову было большим предательством меня. О моём звонке Лузину он узнал из моего собственного рассказа, так как меня мучили сомнения и я поделился с ним, как с другом. При этом предполагалось, что никому об этом дружеском разговоре не будет рассказано. Очень скоро после этого Ефремович был арестован, и перед этой большой бедой померкло его мелкое предательство. Так что я снова воспылал к нему дружбой и заботой о нём.   Моё выступление по поводу Лузина было рискованным также и с той точки зрения, что многие могли принять его как угодничество перед начальством. В действительности этого не было! Я в самом деле был возмущён поведением Лузина. К выступлению по поводу Лузина я готовился тщательно и отработал его во всех деталях. В дальнейшем я имел время от времени такие выступления по разным поводам и в них в основном выражалась моя общественная активность, пока в конце 60-х годов она не приобрела более постоянный и регулярный характер. Моя общественная активность была всегда несколько рискованной для меня, а с течением времени она стала просто опасной. Особенно остро я почувствовал это, начиная с 1978 года. А теперь острота этого ощущения всё нарастает. Но об этом я, быть может, расскажу несколько позже. О моих исследованиях в топологии Одновременно с написанием книжки "Непрерывные группы" я занимался и другими проблемами. Впрочем, для этого были более существенные причины. Об этом я расскажу, пожалуй, потом. Так, в 1936 году мною была получена гомотопическая классификация отображений сферы S n+1 на сферу S n при n>2. Как я уже говорил, оказалось, что число классов отображений равно 2. Тогда же я занимался отображениями сферы S n+2 на сферу S n при n>2, но, сделав ошибку в вычислении, получил неверный результат, установив, что имеется лишь один класс отображений. В действительности же имеются два класса отображений, это я выяснил много лет спустя, когда дал полное изложение этой работы 26. Окончив книжку, я все свои усилия направил на гомотопическую классификацию отображений одного пространства A на другое пространство B. В первую очередь надо было дать классификацию отображений сферы S n+k на сферу S n. Усилия, направленные на решение последней задачи, привели меня к изучению гладких многообразий. Хочу остановиться на этом подробнее, так как в этой области я получил важные результаты. Два отображения f и g пространства A в пространство B называются гомотопными, если, непрерывно меняя отображение f , можно сделать его совпадающим с g. Проблема гомотопической классификации отображений стала центральной проблемой топологии на много лет. Она оказалась очень трудной даже для простейшего случая — для случая сфер. Если пространство B есть сфера S n, то задачу можно локализовать следующим образом. Выберем на сфере S n произвольную точку p и обозначим через H произвольно малую шаровую окрестность этой точки. Оказывается, что если два отображения f и g совпадают на H, то они гомотопны между собой. Говоря, что отображения f и g совпадают на H, я имею в виду следующее: f –1(H), т.е. полный прообраз шара H при отображении f , совпадает с полным прообразом шара H при отображении g. То есть мы имеем равенство f –1(H) = g–1(H) = C. На множестве C отображения f и g совпадают между собой, т.е. при xC мы имеем f (x) = g(x). Это очень простое соображение легло в основу всех моих исследований. Обозначим через q точку, противоположную точке p. Непрерывно растягивая шарик H вдоль его радиусов и одновременно сжимая пространство S n\H в точку q, мы получим непрерывную деформацию всей сферы S n. Применяя эту деформацию к отображениям f и g, мы убедимся, что в конце этой деформации отображения f и g перейдут в совпадающие. Таким образом, они гомотопны между собой. В случае если пространство A — гладкое многообразие, локализацию следующим образом можно сделать дифференциальной, т.е. перейти к дифференциалам. Прежде всего, очевидно, что всякое непрерывное отображение гладкого многообразия A на сферу S n можно аппроксимировать гладким отображением. Таким образом, достаточно рассматривать только гладкие отображения многообразия A на сферу S n. Предположим далее, что размерность многообразия A больше или равна размерности сферы S n. Тогда оказывается, что точку p на сфере S n можно выбрать таким образом, чтобы функциональный определитель отображения f в каждой точке xf –1(p)=Mk многообразия A, переходящей в точку p, был максимальным, т.е. равнялся n. Тогда полный прообраз точки p в пространстве A представляет собой гладкое многообразие размерности k, равной разности размерностей A и S n. В точке p на сфере S n выберем n ортогональных между собой единичных векторов u1, ..., un. Обозначим через vi(x) вектор пространства A, ортогональный к многообразию Mk в точке x и переходящий в вектор ui. Таким образом, в каждой точке x многообразия Mk построены n линейно независимых векторов v1(x), ..., vn(x). Ортонормируя систему векторов v1(x), ..., vn(x), мы получим ортонормированную систему векторов w1(x), ..., wn(x) в каждой точке х многообразия Mk. Многообразие Mk, в каждой точке которого задана ортонормальная система векторов, ортогональных к нему, я назвал оснащённым многообразием. В том случае, когда многообразие A представляет собой сферу S n+k, оснащённое многообразие Mk однозначно определяет гомотопический класс отображений, из которого оно возникло при помощи точки p. От сферы S n+k легко перейти к евклидову пространству E n+k. Таким образом, проблему классификации отображений сферы S n+k на сферу S n я свёл к проблеме изучения оснащённых многообразий Mk в евклидовом пространстве E n+k. Нужно было посмотреть, что делается с оснащённым многообразием Mk, когда отображение f гладко деформируется.   Это и было мною сделано Таким образом, я пришёл к проблеме изучения гладких многообразий Mk, расположенных в евклидовом пространстве E k+l (заменяю здесь n на l) и для их изучения ввёл характеристические циклы многообразия Mk, гомологические классы. Дам здесь их определение. В евклидовом пространстве E k+l проведём через некоторую точку O все k-мерные ориентированные плоскости размерности k и обозначим через H(k, l) многообразие, составленное из этих плоскостей. В каждой точке x многообразия Mk проведём касательную к нему плоскость Тх. Обозначим через T(x) плоскость из многообразия H(k, l), параллельную плоскости Tx. Таким образом, возникает отображение T многообразия Mk в многообразие H(k, l). Это отображение я назвал тангенциальным отображением. Для многообразия H(k, l) я нашёл все циклы с точностью до гомологии. Если Z — некоторый цикл из H(k, l), то он высекает на многообразии T(Mk) некоторый цикл Y, прообраз которого Q в многообразии Мk и называется характеристическим циклом. Очень легко доказывается, что характеристические циклы не зависят от числа l при достаточно большом l и являются инвариантами гладкого многообразия Mk. Здесь имеются, конечно, в виду циклы с точностью до гомологий, т.е. классы гомологий, поэтому в дальнейшем они стали называться классами Понтрягина, а не циклами. В дальнейшем характеристические классы стали предметом изучения многих математиков и играли большую роль в топологии. Первая же важная проблема, которая связана с ними, заключается в следующем: легко доказывается, что характеристические классы являются инвариантами гладкого многообразия Mk; возникает вопрос, не являются ли они инвариантами самого топологического многообразия Mk? Эту задачу я пытался решить, но не сумел. Много лет спустя С.П. Новиков доказал, что если рассматривать характеристические классы над полем рациональных чисел, то они являются инвариантами топологического многообразия Mk, т.е. не зависят от введённой на нём гладкости. Характеристические классы конечного порядка, напротив, не являются инвариантами топологического многообразия Mk. Это было установлено и сыграло также существенную роль для решения некоторых важных задач. В частности, это обстоятельство было использовано для доказательства того, что на топологической сфере можно ввести различные гладкости, не эквивалентные между собой. Связь между гомотопической классификацией отображений сферы S n+k на сферу S n и теорией гладких многообразий была установлена мною отнюдь не в 1936 году, а гораздо позже, когда я старался упростить доказательство, которое для k=1, 2 первоначально было чудовищно сложно, а также старался решить задачу классификации отображений для k≥3. Мне кажется, что характеристические циклы были построены мною ещё до войны, но первая публикация была дана только в 1942 году 14. Существенно упростить решение задачи для k=1 и k=2 мне удалось. Решить задачу для k≥3 не удалось, несмотря на все мои усилия. Попытки решить эту задачу продолжались несколько лет. Точно так же несколько лет я занимался гладкими многообразиями, в частности оснащёнными, а также характеристическими классами. Эта деятельность была закончена мною в начале 50-х годов и завершилась чтением курса лекций на эту тему. Затем была опубликована монография "Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий" в 1955 г. в "Трудах Математического института" 27. Несмотря на то, что я не сумел решить задачу для k≥3, результаты, полученные мною по теории гладких многообразии, оказались существенными и вошли в топологию гладких многообразий. Независимо от меня задачей классификации отображений S n+k на S n занимался Лере, но совершенно на другом пути. Его первоначальные публикации, подводящие к решению этой проблемы, были крайне формалистичны, и совершенно не видно было, к чему они ведут. Так что я только попытался их изучить, а потом бросил. В конечном счёте Лере на своём пути решил задачу классификации отображений сферы S n+k на сферу S n при произвольном k. Этим самым моя многолетняя работа в этой области была мною закрыта. Это послужило одной из причин, по которым я полностью бросил топологию и занялся прикладными проблемами. Впрочем, для этого были и более существенные причины. Об этом, однако, я расскажу позже * * * Математик не скажет: "Я работал", он скажет: "Я занимался". Это значит, он занимался математикой. Может быть, читал математическую работу, может быть, старался доказать новую теорему, может быть писал собственную работу, излагая уже полученные результаты.   Обо всём этом говорится: "занимался" Иногда мне задают вопрос: в чём состоит кухня математического творчества, или иначе: в чём заключается кухня математических занятий, т.е. как получаются новые математические результаты. Полноценного ответа на этот вопрос, я думаю, дать нельзя. Один из героев А. С. Пушкина ("Египетские ночи") говорит: "Всякий талант неизъясним". Подражая Пушкину, можно было бы сказать: процесс математического творчества неизъясним. Стараясь объяснить процесс научного творчества, Пуанкаре относил значительную часть его на подсознательную деятельность мозга. Делая это, он тем самым отказывался от ответа на вопрос, так как подсознательная деятельность мозга не наблюдаема. Всё же я думаю, что кое-что о процессе математических занятий сказать можно, и постараюсь это сделать. Главная часть математических занятий заключается в получении новых математических результатов. Математические результаты я делю на два различных типа: 1. Математический результат предвидится и формулируется заранее, почти без всяких занятий, а занятия должны дать ответ на вопрос: верен ли формулируемый результат или не верен. То есть здесь имеется лишь два возможных ответа: да или нет. 2. Математический результат нельзя предвидеть заранее без всякого научного исследования. математик имеет дело с какой-то задачей или явлением и ответа заранее предвидеть не может. Его нужно найти. Это и будет результат. В этом случае результат представляет собой совершенно новое математическое явление, или, иначе говоря, новую картину, которую нужно найти, одновременно убеждаясь в том, что она правильна и даёт решение поставленной задачи. Для результата 1-го типа главный интерес, как правило, заключается в его доказательстве, а не в формулировке. Для результата 2-го типа интересна формулировка, а не только доказательство. Мне лично гораздо больше нравятся результаты 2-го типа. Приведу классические образцы результатов 1-го и 2-го типов. Результат 1-го типа: проблема Гольдбаха. Ещё в XVIII столетии петербургский академик Гольдбах сформулировал следующую теорему: каждое чётное число может быть представлено как сумма двух простых чисел. Проблема Гольдбаха заключается в том, чтобы дать ответ на вопрос, правильна ли эта теорема или неправильна. Проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Ослабленная проблема Гольдбаха была решена И.М. Виноградовым в 1937 году. Она заключается в следующем. Легко видеть, что если теорема Гольдбаха верна, то каждое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Однако из этой теоремы не следует теорема Гольдбаха. Когда говорят, что Виноградов решил проблему Гольдбаха, то имеют в виду данное им доказательство теоремы о том, что всякое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Доказать теорему Гольдбаха очень трудно, так как в ней увязываются аддитивные и мультипликативные свойства целых чисел, кроме того, трудность видна также из того, что она до сих пор не поддаётся решению, а решена только частично и то с огромным трудом. Заслуга Виноградова заключается не столько в том, что он решил ослабленную проблему Гольдбаха, а в том, что он создал новый метод — метод тригонометрических сумм, позволивший ему решить ряд теоретико-числовых проблем. В частности, ослабленную проблему Гольдбаха. Результат 2-го типа. Предельные циклы Пуанкаре. Если состояние технического или физического объекта определяется двумя величинами x, y, то процесс изменения этих величин во времени обычно описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений dx dt = f (x, y); dy dt = g(x, y). (1) Здесь правые части уравнений не зависят от времени t, т.е. система (1) автономна. Систему дифференциальных уравнений (1) можно интерпретировать на плоскости в виде векторного поля, ставя в соответствие каждой точке (x, y) плоскости фазовый вектор ( f (x, y), g(x, y)). Решение системы (1) можно также интерпретировать в виде линии на той же фазовой плоскости. Для этого проводят линию, описываемую решением (x(t), y(t)) на фазовой плоскости, считая t параметром. Эти линии называются фазовыми траекториями системы (1). Они не пересекаются между собой, покрывают всю плоскость и дают так называемую фазовую картину решений системы дифференциальных уравнений (1). Две эти интерпретации связаны между собой. Фазовой вектор, отнесённый к точке (x, y), касается фазовой траектории, проходящей через эту точку. Если задано начальное значение (x0, y0) при заданном значении времени t0, то, конечно, можно вычислить решение системы уравнений (1) при этом начальном значении на любом конечном отрезке времени t0 ≤ t ≤ t1. Возможность нахождения численного решения дают современные вычислительные машины. Но нахождение таких решений на конечном отрезке времени не решает всех проблем, которые возникают относительно системы дифференциальных уравнений (1). Так, вопрос о том, имеет ли система уравнений (1) периодические решения, т.е. замкнутые фазовые траектории, решить, вычисляя решения на конечных отрезках времени, невозможно. Точно так же невозможно решить вопрос о том, как ведут себя траектории, когда время неограниченно возрастает, а это очень важно для разных технических вопросов. На всё это обратил внимание Пуанкаре, введя в рассмотрение фазовую картину системы дифференциальных уравнений (1), положив этим начало качественной теории дифференциальных уравнений. Пуанкаре принадлежит основное понятие, возникшее в качественной теории, — понятие предельного цикла. Периодическое решение системы (1) изображается на плоскости в виде замкнутой фазовой траектории. Если вблизи неё нет других замкнутых траекторий, то эта замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Оказывается, что фазовые траектории, проходящие вблизи предельного цикла, наматываются на него как спирали и изнутри, и снаружи, при неограниченном возрастании или убывании времени t. В предположении некоторой общности положения оказывается, что траектории на предельный цикл снаружи и изнутри наматываются в обоих случаях либо при возрастании t, либо при убывании времени t. Если они наматываются при возрастании времени t, то предельный цикл является устойчивым решением. Физический прибор, описанный системой (1), может работать на этом предельном цикле, т.е. выдавать устойчивые периодические колебания. Пуанкаре обратил внимание также на значение положения равновесия системы (1), т.е. таких точек фазовой плоскости, которые обращают в нуль правые части дифференциальных уравнений (1). Эти точки являются постоянными решениями системы (1). Поведение траекторий вблизи них играет важную роль. Оно было изучено Пуанкаре, и он дал классификацию положений равновесия на основании этого поведения. Качественная теория системы уравнений (1), построенная Пуанкаре, является характерным результатом 2-го типа. Ясно, что очень важно было решить систему уравнений (1), но получить её решение в виде формул удаётся лишь для очень немногих систем уравнений. Поэтому возникла задача найти какой-то новый подход к рассмотрению этих уравнений. Это сделал Пуанкаре, сосредоточив своё внимание на фазовой картине траекторий. Он извлёк из этой фазовой картины то важнейшее, что она даёт. Это предельные циклы, положения равновесия и общий характер поведения траекторий при неограниченно возрастающем t. Таким образом, было обнаружено новое математическое явление, предвидеть которое исходя из системы (1) невозможно. В 30-х годах этого столетия предельные циклы Пуанкаре нашли применение в радиотехнике. А именно, А.А. Андронов показал, что ламповый генератор работает на предельном цикле. До этого работу ламповых генераторов пытались объяснить при помощи линейных дифференциальных уравнений, что было, конечно, невозможно. Качественная теория дифференциальных уравнений, основанная Пуанкаре, получила значительное развитие в работах многих математиков. В частности, Андронов ввёл в связи с фазовой картиной на плоскости понятие грубой системы, важной с физической точки зрения. Я помог ему немного в решении некоторых связанных с этим задач и стал соавтором этого понятия. Нет сомнений, что при решении ослабленной проблемы Гольдбаха Виноградов преодолел гораздо большие трудности, чем Пуанкаре при геометрическом изучении системы дифференциальных уравнений (1). Несмотря на это, описанный результат Пуанкаре кажется мне гораздо более интересным и важным для математики, чем результат Виноградова. Конечно, это, может быть, объясняется тем, что в достижении Виноградова я не знаю того, что только и может быть в нём интересно, именно самого доказательства. А результат Пуанкаре мне ясен, я умею применять его и знаю применения. Здесь всплывает на поверхность важнейший для занятия математикой вопрос. Именно, вопрос о выборе тематики. Вопрос о том, чем следует заниматься.   Вопрос этот для математиков, быть может, более труден, чем для специалистов других областей знаний. математика возникла как наука чисто прикладная, и в настоящее время её основной целью является изучение окружающей нас материальной действительности на пользу человечества. С другой стороны, в развитии математики есть своя логика, которая часто уводит в сторону от прикладного пути. Создаются целые теории, не имеющие отношения к приложениям, но чрезвычайно красивые в своём роде. Эти математические красоты доступны только математикам и поэтому не могут быть оправданием для создания таких теорий. Но всё же теории, не имеющие приложения, а имеющие большую внутреннюю стройность, нельзя считать незаконнорождёнными и отвергать. Они составляют внутреннюю ткань всей математики, и их иссечение могло бы нарушить её целостность. Кроме того, известны случаи, когда первоначально лишённые всяких приложений понятия находят в дальнейшем свои приложения. Примером могут служить конические сечения. Я лично считаю, что при занятиях математикой часто следует обращаться к первоисточникам, т.е. к её приложениям. Это вносит свежую струю в развитие математики, так как из глубины разума невозможно извлечь ничего столь значительного и интересного, что можно извлечь из прикладных задач. Но всё же, руководствуясь соображениями приложений, хочется выбирать такие математические проблемы, которые сами по себе, как математические, интересны. Такое сделать нелегко, но всё же иногда удаётся. Существует, однако, совершенно другой подход к математической проблематике. Это стремление решить знаменитые проблемы, т.е. такие, которые давно поставлены, но не поддаются решению. Прекрасными примерами таких проблем являются проблема Гольдбаха и великая теорема Ферма. Но такой подход кажется мне уж очень спортивным, а ведь наука не спорт. Её главной целью является подчинение людям окружающей материальной действительности с тем, чтобы использовать её для жизни людей. Некоторые считают, что, решая трудные проблемы, математики совершенствуют свой аппарат для того, чтобы в дальнейшем его можно было использовать по прямому назначению. Но я полагаю, что лучше уж совершенствовать свой аппарат, употребляя его сразу по прямому назначению для решения сколько-нибудь прилагаемых к жизни задач. Столь же безосновательным мне кажется утверждение, что, играя в шахматы, люди совершенствуют свои умственные способности. Я считаю, что игра в шахматы скорее изнуряет умственные способности. Лучше уж совершенствовать их на чём-то нужном. При попытке объяснить процесс математического творчества я буду исходить из одного высказывания Пуанкаре, смысл которого состоит в следующем. Всякое, даже очень сложное математическое построение состоит из очень простых логических переходов, каждый из которых не представляет никакой трудности при понимании. Сложное переплетение всех этих простых переходов представляет собой трудную для понимания конструкцию, ведущую к результату. Таким образом, сложное математическое построение представляет собой как бы логическое кружево из мелких стежков очень простой структуры. На одном конце этого сложного куска кружев находится предпосылка, а на другом — результат. Каждый стежок, составляющий кусок кружев, очень прост. Всё в целом сплетение представляется очень сложным. Для понимания его требуется большой опыт и одарённость математика. Процесс математического творчества заключается в сплетении этого сложного логического куска, на одном конце которого находится предпосылка, а на другом — научный результат. Как же математик выплетает то сложное кружево, которое ведёт к желанной цели?   Для этого он, по моему представлению, намечает сперва узловые точки будущего куска. Для будущего сложного сплетения следует удачно наметить его узловые точки. После того, как эти узловые точки будут намечены, заполнить оставшиеся пустоты будет легче, чем построить кружево в целом. Для простоты будем считать, что всё сложное сплетение, ведущее от предпосылки к результату, представляет собой последовательность логических шагов, которую нужно пройти. Таким образом, узловые моменты построения состоят из промежуточных утверждений, причём каждое следующее отстоит от предыдущего на некоторое число мелких логических переходов. Если такая последовательность этапов уже намечена, то переход от каждого к следующему становится делом более простым и более видимым. математик намечает эти промежуточные результаты, пользуясь своим опытом и ассоциативной памятью, позволяющей ему по аналогии улавливать сходство между различными математическими утверждениями и обретать веру без всякой уверенности в том, что переход от каждого этапа к следующему возможен. Если намеченные этапы выбраны удачно и ведут действительно к цели, то потом удаётся восстановить постепенно отрезки всего пути. Такова, по моему мнению, грубая схема математического творческого мышления. Для проведения описанного построения цепочки производится огромное число неудачных проб. Талант заключается в том, чтобы быстро оценить ситуацию, т.е. усмотреть, где находится правильный, а где ложный путь. Среди множества неудачных попыток вдруг обнаруживается и удачная. Это называют иногда озарением. В действительности же это плод огромного труда и отбора из множества негодных путей правильного пути. Пуанкаре считает, что нахождение правильного пути является плодом длительной подсознательной деятельности. Я не могу с этим согласиться, во всяком случае такое предположение не обязательно. В качестве яркого примера он приводит случай, когда внезапно был озарён догадкой о том, что группа, связанная с автоморфной функцией, есть та же самая группа, что имеет место в неевклидовой геометрии. На мой взгляд, имело место другое. В его уме были представления об обеих группах. Первая группа, связанная с автоморфной функцией, которую он искал, и вторая лежала в голове готовая — это группа преобразований в плоскости Лобачевского. Догадка или переход заключался в том, что группы эти одинаковы. Пуанкаре сразу уверовал в это и считал это плодом длительной подсознательной работы. В действительности же утверждение потребовало дальнейшей проверки и оказалось правильным. Оно, вероятно, было одним из многих предположений, которые он делал и которые оказывались неправильными. Его гений заключался в том, что он быстро отметал неправильные пути и быстро делал всё новые и новые попытки, прежде чем попал на правильное решение вопроса. Мне кажется, не следует преувеличивать активную роль подсознания в человеческом мышлении. Подсознанию я отвёл бы роль склада, в котором хранятся накопленные человеком представления, т.е. роль пассивной памяти. Может ли этот склад внезапно выбросить на поверхность сознания без запроса последнего какое-то представление? Я пытался выяснить этот вопрос с помощью наблюдений. Много раз, обнаружив, что в моём сознании появился какой-то новый образ, я старался найти объяснение этому проявлению и всегда обнаруживал, что между тем предметом, о котором я сознательно думал, и вновь появившимся существует вполне сознательная цепочка промежуточных представлений, каждое следующее из которых связано с предыдущим близкой ассоциацией.   Все эти ассоциации можно было припомнить, так как они находились в моём сознании, а вовсе не в подсознании. Последний, конечный пункт этой цепочки не был, таким образом, выброшен спонтанно моим складом, а появился в результате ассоциативных переходов от одного звена к другому. Мы с женой очень часто замечаем, что у нас одновременно из подсознания всплывало одно и то же представление, хотя о нём мы и не говорили. Но нам всегда удавалось установить ту цепочку вполне сознательных переходных ассоциаций, которая вела к новому объекту от того, который был предметом нашего сознательного внимания в данный момент. Таким образом, исключалась и возможность передачи на расстоянии мысли от одного из нас к другому. Цепочка ассоциаций, ведшая к новому предмету мышления, была одинаковой, поскольку мы привыкли одинаково думать. С другой стороны, я замечал, что при активном занятии математикой первая мысль после сна, появлявшаяся в моей голове, являлась продолжением той, с которой я засыпал. Точно так же не ясно, как возникают образы сновидений. Таким образом, нельзя утверждать, что каждый предмет мышления возникает в результате внешнего воздействия. Я думаю, однако, что внезапно возникшее, по мнению Пуанкаре, в его уме представление о совпадении групп автоморфных преобразований и групп преобразований плоскости Лобачевского в действительности появилось не внезапно, а было вызвано цепочкой ассоциаций, исходным пунктом которой было внешнее впечатление, быть может, ручка омнибуса, за которую он держался, сходя со ступенек, или те же самые ступеньки. Какова была цепочка, ведущая от них или ручки к группам, сказать невозможно, но думаю, что она была. К роли подсознательного мышления относится и вопрос о том, что такое математическая интуиция. Под ней обычно понимают способность человека прозревать истину или правильный путь решения задачи. Я же думаю, что интуиция представляет собой в какой-то степени автоматизированный опыт мышления, накопленный в результате большой деятельности. Некоторые отдалённо связанные между собой математические представления уже настолько хорошо проассоциированы в голове человека между собой, что переход от одного к другому не требует цепочки коротеньких ассоциаций, а совершается одним скачком. Возможность такого скачка является результатом опыта математического мышления. Большой труд, приводящий в результате к созданию множества ассоциаций, — вот основа математического творчества. Занимаясь, математик не совершает сложного пути мелких ассоциаций, а сразу делает как бы "прыжки" от одного представления к другому, которое связано у него ассоциациями, вызывая одно другое. По себе я знаю, что, обладая довольно умеренной памятью, нужной для таких вещей, как, например, запоминание стихов, изучение иностранных языков, я обладаю исключительно хорошей ассоциативной памятью, которая даёт мне возможность заниматься математикой. Я иногда использую свою ассоциативную память там, где нужна какая-то другая память, создавая искусственные ассоциации. Так, например, в детстве немецкое слово "brücke" — "мост" я ассоциировал с представлением о брюках, повешенных над рекой. И эта ассоциация действует до сих пор. Соответствующее слово "bridge" английского языка, который я знаю гораздо лучше немецкого, и теперь даётся мне гораздо хуже, чем немецкое "brücke". В своей научной работе я пришёл от задачи гомотопической классификации отображения сферы размерности n+k на сферу размерности n к проблеме изучения оснащённых гладких многообразий размерности k, расположенных в (n+k)-мерном евклидовом пространстве. Последовательные этапы установления этой связи были описаны мною выше. Сперва я пришёл к локализации задачи. От локальной задачи пришёл к дифференциальному её описанию, а затем уже к гладкому многообразию размерности k, расположенному в (n+k)-мерном евклидовом пространстве, и к полю ортонормальных систем векторов, заданному в каждой точке этого многообразия. В этом построении ясно видны промежуточные этапы, каждый из которых дался мне не без труда, причём при построении их я руководствовался разного рода ассоциациями и привычными уже для меня представлениями.   Наметив несколько промежуточных этапов, которые здесь описаны, я доказал, что гомотопическая классификация отображения (n+k)-мерной сферы на n-мерную сферу эквивалентна некоторого рода классификации оснащённых многообразий. Следующий этап — переход от оснащённых многообразий к характеристическим циклам многообразий Mk — уже не приводит к эквивалентности математических утверждений, а лишь намечает путь, на котором можно изучать оснащённые многообразия. Это предположительный путь, который иногда даёт результаты. Оказалось, однако, и это типично для математического исследования, что характеристические циклы имеют гораздо более широкие применения, чем изучение оснащённых многообразий. Примечания 1. См. статью: Лахтин Л. К. Высшая математика для начинающих. — В кн.: Энциклопедия Гранат, изд. VII, т. 12, с. 66. 2. См. работу: Lefschetz S. Intersection and transformations of complexes, and manifolds. — Trans. Amer. Math. Soc., 1926, vol. 28, p. 1–49. 3. См. работы: Понтрягин Л.С. К теореме двойственности Александера; К теореме двойственности Александера. Второе сообщение. В кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. I. М.: Наука, 1988 4. См. Александров П.С. Страницы автобиографии. — УМН, 1979, т. 34, вып. 6, с. 219–249; 1980, т. 35, № 3, с. 241–278. 5. Как было отмечено выше в тексте "Жизнеописания...", первая из этих работ не была опубликована. Три следующих опубликованы в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988. Это работы: "О теореме двойственности Александера", "О теореме двойственности Александера. Второе сообщение", "Об алгебраическом содержании топологических теорем двойственности". См. также статью Л.С. Понтрягина "О моих работах по топологии и топологической алгебре" (с. 243–260 наст. издания). 6. В 1956–60 гг. Л.С. Понтрягин опубликовал цикл работ о дифференциальных уравнениях с малым параметром. См. библиографию работ Л.С. Понтрягина (с. 224–236 наст. издания). Некоторые из этих работ опубликованы в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988. 7. См. работу "О непрерывных алгебраических телах". — В кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988. 8. Подробный обзор решения 5-й проблемы Гильберта см. в книге: "Проблемы Гильберта" (М.: Наука, 1969) и в комментариях к книге: Д. Гильберт. Избранные труды. Т. II. — М.: Факториал, 1998. 9. Книга "Непрерывные группы", написанная в 1937 г. до сих пор является основополагающей монографией по топологической алгебре. Она выдержала четыре издания у нас в стране (в 1938, 1954, 1973, 1984 и 1988 гг)., несколько изданий на английском языке (в 1939, 1946 гг. — Princeton University Press, в 1966 г. — Gordon and Breach, 1978 — Mir), переведена на немецкий, польский и китайский языки. 10. См. работу "Об одной фундаментальной гипотезе в теории размерности" в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988. 11. По-видимому, имеется в виду работа Pontriagin L., Tolstowa G. Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes. — Math. Ann., 1931, Bd. 105, H. 5, S. 734–745 12. См. работу Pontriagin L., Frankl F. Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. — Math. Ann., 1930, Bd. 102, H. 5, S. 785–789. 13. К задаче о вычислении гомотопических групп сфер Л.С. Понтрягин неоднократно возвращался в период 1936–1955 гг. (См. библиографию работ Л.С. Понтрягина на с. 224–236 наст. издания). Созданная им теория оснащённых многообразий оказала большое влияние на развитие топологии. См., например, книгу "В поисках утраченной топологии" (М.: Мир, 1989). См. также книгу "Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий" (М.: Наука, 1985) и статью "О моих работах по топологии и топологической алгебре" (с. 243–260 наст. издания). 14. Первая работа по теории характеристических классов была опубликована в 1942 г. ("Характеристические циклы многообразий", ДАН СССР, 1942, т. 35, № 2, с. 35–39). Дальнейшие работы см. в библиографии работ Л.С. Понтрягина (с. 224–236 наст. издания). См. также "О моих работах по топологии и топологической алгебре" (с. 243–260 наст. издания). О характеристических классах Понтрягина и их применениях в топологии см., например, книгу Дж. Милнора, Дж. Сташефа "Характеристические классы" (М.: Мир, 1979) и обзор С.П. Новикова "Топология" (в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 12. — М.: ВИНИТИ, 1986). 15. См. работу "Об алгебраическом содержании топологических теорем двойственности" (в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Haука, 1988) и её обсуждение в статье "О моих работах по топологии и топологической алгебре" (с. 243–260 наст. издания). 16. По-видимому в это время была опубликована "Декларация инициативной группы по реорганизации математического общества", подписанная Люстерником, Шнирельманом, Гельфондом, Понтрягиным и Некрасовым. 17. Проблема Гольдбаха формулируется следующим образом: всякое ли целое число, большее 6, можно представить в виде суммы не более трёх простых чисел? Л. Эйлер показал, что для решения этой проблемы достаточно доказать, что каждое чётное число есть сумма двух простых. В 1930 г. Л. Г. Шнирельман доказал, что всякое целое число, большее 1, есть сумма не более чем 800 000 простых чисел. 18. См. работу "О динамических системах, близких к гамильтоновым" (в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988). См. также работы этого времени: "О статистическом рассмотрении динамических систем" (совместно с А.А. Андроновым и А.А. Виттом) и "Грубые системы" (совместно с А.А. Андроновым). Опубликовано в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. II. — М.: Наука, 1988. 19. И. А. Вышнеградский (1831–1895 гг). — выдающийся русский учёный в области техники. Одно время был министром финансов. В конце прошлого столетия регулятор Уатта паровой машины в результате ряда конструктивных усовершенствований перестал действовать. Вышнеградский дал такую математическую идеализацию его, которая выяснила причины этого явления и дал практические рекомендации для устранения этого дефекта. Оказалось — достаточно повысить трение! Сама теория Вышнеградского проста до чрезвычайности, а практические выгоды от неё очень важны. (Прим. Л.С. Понтрягина). 20. См., например, Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982, с. 75–93. 21. Книга А.А. Андронова, А.А. Витта и С. Э. Хайкина "Теория колебаний" была опубликована в 1937 г. (без упоминания об авторстве А.А. Витта), второе издание в 1959 г., третье — в 1981 г. 22. Тогда мы ещё не знали, что грядёт 1937 год. Я описываю события так, как я и мои товарищи воспринимали происходящее тогда — в 1936 году. Позже я понял, что Советскому правительству нужно было разогнать школу русского математика Н.Н. Лузина. Уничтожить его самого они не решились. (Прим. Л.С. Понтрягина). 23. Точное название статьи "О врагах в советской маске" ("Правда", 3.7.1936). За день до этого была опубликована статья "Ответ академику Лузину" ("Правда", 2.7.1936); далее — статья "Традиции раболепия" ("Правда", 9.7.1936). Публикациями этих статей было положено начало "делу Лузина". В настоящий момент готовится публикация книги "Дело академика Лузина. Сборник материалов". ["Дело академика Николая Николаевича Лузина" (СПб.: РХГИ, 1999. — 312 с). — E.G.A.] 24. Воспоминания о "Лузитании" см. в книге "Колмогоров в воспоминаниях" (М.: Физматлит, 1993) и цитированных выше воспоминаниях П.С. Александрова. См. также воспоминания Л. А. Люстерника "Молодость московской математической школы" (УМН, 1967, т. 22, №№ 1, 2, 4 и т. 25 № 4). 25. Отчет об этом заседании был опубликован в журнале "Фронт науки и техники" за 1936 г. 26. См. работу "Гомотопическая классификация отображений (n+2)-мерной сферы в n-мерную. Опубликовано в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988. 27. Книга "Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий" была опубликована в 1955 г. (М.: изд-во АН СССР), второе издание в 1976 г., третье — в 1985 г. Опубликована также в кн.: Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. I. — М.: Наука, 1988 Оглавление   www.pseudology.org