Гуманитарный издательский центр Владос, Москва 1998 Александр Архипович Ивин и Александр Леонидович Никифоров Словарь по логике МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА  — одно из названий современной формальной логики, пришедшей во второй половине XIX — на­чале XX в. на смену традиционной логике. В качестве другого назва­ния современного этапа в развитии науки логики используется также термин логика символическая. Определение "математичес­кая" подчеркивает сходство новой логики с математикой, осно­вывающееся прежде всего на применении особого символическо­го языка, аксиоматического метода, формализации. М. л. исследует предмет формальной логики методом построе­ния специальных формализованных языков, или исчислений. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности ес­тественного языка, которым пользовалась при описании правиль­ного мышления традиционная логика. Новые методы дали логике такие преимущества, как большая точность формулировок, воз­можность изучения более сложных с точки зрения логической формы объектов. Многие проблемы, исследуемые в М. л., вообще невозможно было сформулировать с использованием только тра­диционных методов. Иногда термин "М. л." употребляется в более широком смыс­ле, охватывая исследование свойств дедуктивных теорий, имену­емое металогикой или метаматематикой. МАТЕРИАЛЬНАЯ СУППОЗИЦИЯ, см.: Суппозиция. МЕТАМАТЕМАТИКА  — раздел математической логики, изучаю­щий основания математики, структуру математических доказательств и математических теорий с помощью формальных методов. М. рассматривает формализованную теорию как множество не­которых конечных последовательностей символов, называемых фор-   [192] мулами и термами, к которым добавляется множество операций, производимых над этими последовательностями. Формулы и тер­мы, получаемые с помощью простых правил, служат заменой пред­ложениям и функциям содержательной математической теории. Операции над формулами соответствуют элементарным шагам де­дукции в математических рассуждениях. Формулы, соответствую­щие аксиомам содержательной теории, выступают в качестве ак­сиом формализованной теории. Формулы, которые могут быть выведены из аксиом посредством принятых операций, соответ­ствуют теоремам содержательной теории. Множество формул и множество термов, рассматриваемые как множества конечных последовательностей с операциями, в свою очередь, могут быть объектами математического исследования. В ранний период развития математической логики использовались в основном простые методы, исключались все нефинитные. Лиде­ром этого направления был Д. Гильберт, полагавший, что с по­мощью простых методов М. удастся доказать непротиворе­чивость фундаментальных математических теорий. Однако тео­ремы К. Гёделя показали, что программа Гильберта неосуществи­ма. Использование финитных методов для исследования форма­лизованных теорий является естественным в силу их очевидного финитного характера. Но на практике ограничение методов дока­зательства элементарными методами значительно усложняет ма­тематические исследования. Поэтому для более глубокого проник­новения в сущность формализованных теорий современная М. широко использует более сложные, нефинитные методы. Множество термов любой формализованной теории является ал­геброй, и множество всех формул также является алгеброй. После естественного отождествления эквивалентных формул множество всех формул становится решеткой (структурой), а именно: булевой ал­геброй, псевдобулевой алгеброй, топологической булевой алгеброй и т.п. - в зависимости от типа логики, принимаемой в теории. Эти алгебры, в свою очередь, связаны с понятием поля множеств и то­пологического пространства. С этой точки зрения представляется ес­тественным применение в М. методов алгебры, теории решеток (струк­тур), теории множеств и топологии. В М. широко используется также гёделевский метод арифметизации и теория рекурсивных функций. М. исследует вопросы непротиворечивости и полноты форма­лизованных теорий; независимость аксиом; проблему разреши­мости; вопросы определимости и погружения одних теорий в дру­гие; дает точное определение понятия доказательства для различ­ных формализованных теорий и доказывает теоремы о дедукции; [193] изучает проблемы интерпретации формальных систем и их раз­личные модели; устанавливает разнообразные отношения между формализованными теориями и т.п. МЕТАТЕОРИЯ (от греч. meta - после, за, позади)  - теория, изу­чающая язык, структуру и свойства некоторой другой теории. Тео­рия, свойства которой исследуются в М., называется предмет­ной, или объектной, теорией. Наиболее развиты М. логики и математики (в металогике и метаматематике). Объектом исследова­ния М. обычно оказывается не содержание объектной теории, а ее формальные свойства, поэтому она предварительно формализуется и представляется в виде формального исчисления. В М. можно вы­делить две части: синтаксис, изучающий структурные и де­дуктивные свойства исследуемой теории; семантику, рассматри­вающую вопросы, связанные с интерпретацией изучаемой теории. МЕТАФОРА (от греч, metaphora - перенос, образ)  - перенесе­ние свойств одного предмета (явления или аспекта бытия) на другой по принципу их сходства в к.-л. отношении или по контра­сту, например: "говор волн", "нос самолета", "свинцовые тучи" и т.п. В отличие от сравнения, где присутствуют оба члена сопоставле­ния, М. — это скрытое сравнение, в котором слова "как", "как будто", "словно" и т.п. опущены, но подразумеваются. В М. различ­ные признаки — то, чему уподобляется предмет, и свойства самого предмета — представлены не в их качественной раздельности, как в сравнении, а сразу даны в новом нерасчлененном единстве. Обладая неограниченными возможностями в сближении или неожиданном уподоблении самых разных предметов и явлений, по существу по-новому осмысливая предмет, М. позволяет вскрыть, обнажить, про­яснить его внутреннюю природу. В науке М. - необходимое средство научного творчества. Практи­чески всякое новое научное понятие появляется как некая М., ста­новясь точным понятием лишь с течением времени. Например, "свето­вая волна" — это М., уподобляющая свет колебаниям волн на по­верхности воды; "электрический ток" - тоже М., приравнивающая электричество к потоку воды, и т.п. Часто новое явление обознача­ется старым термином, относящимся к известным явлениям, и в течение некоторого времени этот термин выступает в качестве М., в которой отображаются свойства различных явлений. МЕТАЯЗЫК (от греч. meta - после, за, позади)  - язык, сред­ствами которого исследуются и описываются свойства другого язы­ка, называемого предметным, или объектным. Например, когда мы на­чинаем изучать иностранный язык, знакомиться с его выражения­ми, с его грамматической структурой, системой времен, падежей   [194] и т.п., мы пользуемся для описания свойств этого пока еще не известного нам языка своим родным языком, который и выступа­ет в данном случае в качестве М. Смешение объектного языка и М. приводит к противоречиям и парадоксам (см.: "Лжеца" парадокс). В естественном языке явного различия между объектным и М. нет: мы пользуемся одним и тем же языком и для того, чтобы говорить о внеязыковых объектах, и для того, чтобы говорить о самом языке. Только интуиция помогает нам избежать путаницы и противоречий. Однако всегда существует опасность того, что неразличение объектного и М. приведет к про­тиворечию. Поэтому в науке, в частности в металогике и метама­тематике, проводится четкое разделение этих двух языков. К М. обычно предъявляются следующие требования: 1) в нем должны быть средства для описания синтаксических свойств объектного язы­ка, в частности средства для построения выражений объектного языка; 2) М. должен быть настолько богат по своим выразительным возможностям, чтобы для каждого выражения объектного языка в нем существовала формула, являющаяся переводом этого выраже­ния; 3) логический словарь М. должен быть по крайней мере столь же богат, как и логический словарь объектного языка; 4) в М. должны быть дополнительные переменные, принадлежащие к более высокому типу, чем переменные объектного языка, и т.д. МЕТОД (от греч. methodos — путь, способ исследования, обуче­ния, изложения)  — совокупность приемов и операций познания и практического преобразования действительности; способ достиже­ния определенных результатов в познании и практике. Применение того или иного М. детерминируется целью познавательной или прак­тической деятельности, предметом изучения или действия и усло­виями, в которых осуществляется деятельность. Существует множество классификаций М. познания. В частности, выделяют частные специальные М. отдельных конкретных наук, например М. механики, оптики, термодинамики, химического анализа, критический анализ источников как М. исторической науки, срав­нительный М. в языкознании и т.п. Наряду с М. конкретных наук существуют также общенаучные М.,т.е. М., используемые об­ширным классом наук или даже всеми науками. К числу таких М. обычно относят наблюдение, измерение, эксперимент, индуктив­ный М., М. гипотез, М. формальной логики и т.п. И наконец, наиболее общими М., применимыми как в познании, так и в прак­тике, являются философские М., например метафизический и диалек­тический М., М. восхождения от абстрактного к конкретному, ана­лиз и синтез, идеализация и абстракция, сравнение и т.п. Наряду с [195] указанной классификацией широким распространением пользуется также разделение М. науки на эмпирические и теорети­ческие М. познания. Всякий М. опирается на определенное знание об объектах позна­ния или практического действия. Поэтому иногда М. называют на­учные принципы и теории; например, вариационные принципы меха­ники — принцип возможных перемещений, принцип наименьшего действия, принцип Д'Аламбера и т.п. — выступают в качестве М. изучения равновесия и движения несвободной механической систе­мы. Материалистическую диалектику часто также называют всеоб­щим М. познания и действия. Возможно, в этом случае лучше гово­рить о методологической функции законов и теорий науки, прин­ципов философии. Учение о М. называется методологией. МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ АРГУМЕНТАЦИЯ  - обоснование отдель­ного утверждения или целостной концепции путем ссылки на тот несомненно надежный метод, с помощью которого получено обо­сновываемое утверждение или отстаиваемая концепция. М.а. являет­ся частным случаем аргументации теоретической. Представления о сфере М.а. менялись от одной эпохи к другой. Существенное значение придавалось ей в Новое время, когда счи­талось, что именно методологическая гарантия, а не соответствие фактам как таковое сообщает суждению его обоснованность. Совре­менная методология науки скептически относится к мнению, что строгое следование методу способно само по себе обеспечить истину и служить ее надежным обоснованием. Возможности М.а. очень раз­личны в разных областях знания. Ссылки на метод, с помощью кото­рого получено конкретное заключение, довольно обычны в есте­ственных науках, крайне редки в гуманитарных науках и почти не встречаются в практическом и тем более художественном мышлении. Методологизм, сутью которого является преувеличение значе­ния М.а. и даже отдание ей приоритета перед другими способами теоретической аргументации, таит в себе опасность релятивизации научного и иного знания. Если содержание знания определяется не независимой от него реальностью, а тем, что мы должны или хо­тим увидеть в ней, а истинность определяется соблюдением методо­логических канонов, то из-под знания ускользает почва объектив­ности. Никакие суррогаты, подобные интерсубъективности, обще­принятости метода, его успешности и т.п., не способны заменить истину и обеспечить достаточно прочный фундамент для принятия знания. Методологизм сводит научное мышление к системе устояв­шихся, по преимуществу технических способов нахождения нового знания. Результатом является то, что научное мышление произволь-   [196] но сводится к изобретаемой им совокупности технических при­емов. Согласно принципу эмпиризма, только наблюдения или эксперименты играют в науке решающую роль в процессе приня­тия или отбрасывания научных высказываний. В соответствии с этим принципом М. а. может иметь только второстепенное значение и никогда не способна поставить точку в споре о судьбе конкретного научного утверждения или теории. Общий методологический прин­цип эмпиризма гласит, что различные правила научного метода не должны допускать "диктаторской стратегии". Они должны исклю­чать возможность того, что мы всегда будем выигрывать игру, ра­зыгрываемую в соответствии с этими правилами: природа должна быть способна хотя бы иногда наносить нам поражение. Методологические правила расплывчаты и неустойчивы, они всегда имеют исключения. В частности, индукция, играющая осо­бую роль в научном рассуждении, вообще не имеет ясных правил. Научный метод несомненно существует, но он не представляет собой исчерпывающего перечня правил и образцов, обязательных для каждого исследователя. Даже самые очевидные из этих правил могут истолковываться по-разному. "Правила научного метода" меняются от одной области познания к другой, посколь­ку существенным содержанием этих "правил" является неко­дифицируемое мастерство, т.е. умение проводить конк­ретное исследование и делать обобщения. Научный метод не содержит правил, не имеющих или в принци­пе не допускающих исключений. Все его правила условны и могут нарушаться даже при выполнении их условия. Любое правило мо­жет оказаться полезным при проведении научного исследования, так же как любой прием аргументации может оказать воздействие на убеждения научного сообщества. Но из этого не следует, что все реально используемые в науке методы исследования и приемы ар­гументации равноценны и безразлично, в какой последовательнос­ти они используются. В этом отношении "методологический кодекс" вполне аналогичен моральному кодексу. М. а. является, таким образом, вполне правомерной, а в науке, когда ядро методологических требований устойчиво, необходимой. Однако методологические аргументы не имеют решающей силы даже в науке. Прежде всего, методология гуманитарного познания не на­столько ясна, чтобы на нее можно было ссылаться. Иногда даже утверждается, что в науках о духе используется совершенно иная методология, чем в науках о природе. О методологии практического и художественного мышления вообще трудно сказать что-нибудь конкретное. Далее, методологические представления ученых явля- [197] ются в каждый конкретный промежуток времени итогом и выво­дом предшествующей истории научного познания. Методология науки, формулируя свои требования, опирается на историю на­уки. Настаивать на безусловном выполнении этих требований зна­чило бы возводить определенное историческое состояние науки в вечный и абсолютный стандарт. Каждое новое исследование явля­ется не только, применением уже известных методологических правил, но и их проверкой. Исследователь может подчиниться ста­рому методологическому правилу, но может и счесть его непри­емлемым в каком-то конкретном новом случае. История науки включает как случаи, когда апробированные правила приводили к успеху, так и случаи, когда успех был результатом отказа от какого-то установившегося методологического стандарта. Ученые не только подчиняются методологическим требованиям, но и кри­тикуют их и создают как новые теории, так и новые методологии. МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ  - часть науковедения, исследующая структуру научного знания, средства и методы научного познания, способы обоснования и развития знания. Систематическое решение методологических проблем дается в методологической концепции, которая создается на базе определенных гносеологических принци­пов. Выработка общего понимания природы человеческого позна­ния, законов и стимулов его развития принадлежит философии, и это философское понимание знания оказывает решающее влияние на формирование представлений о научном знании. На методологическую концепцию оказывают влияние не только философские принципы. Поскольку методологическая концепция является теорией строения и развития научного знания, постольку она — в той или иной степени — ориентируется также на науку и ее историю. Конечно, современная наука слишком обширна для того, чтобы все ее области можно было в равной мере принять во внима­ние. Поэтому каждая методологическая концепция основное внима­ние уделяет отдельным научным дисциплинам или даже отдельным теориям, которые с точки зрения этой концепции являются наибо­лее важными или образцовыми. Таким образом, несмотря на то, что у всех методологических концепций предмет один — наука и ее история, они могут различаться между собой не только потому, что вдохновляются разными философскими представлениями, но и тем, что ориентируются на разные области науки. Следует указать еще на один фактор влияющий на методологи­ческую концепцию, — предшествующие и сосуществующие с ней концепции. Каждая новая концепция возникает и развивается в сре­де, созданной ее предшественницами. Взаимная критика конкури-   [198] рующих концепций, проблемы, поставленные ими, решения этих проблем, способы аргументации, господствующие в данный мо­мент интересы — все это оказывает неизбежное давление на но­вую методологическую концепцию. Она должна выработать соб­ственное отношение ко всему предшествующему материалу: при­нять или отвергнуть существующие решения проблем, признать обсуждаемые проблемы осмысленными или отбросить некоторые из них как псевдопроблемы, развить критику существующих кон­цепций и т.д. Учитывая, что методологическая концепция нахо­дится под влиянием, с одной стороны, философии, а с другой стороны — всегда ориентирована на те или иные области научно­го познания, легко понять, почему в этой области существует громадное разнообразие различных методологических концепций. Самостоятельной областью исследований М. н. становится в се­редине XIX в. Расширение круга методологических проблем свя­зано с исследованиями Больцано, Маха, Пуанкаре, Дюэма. С конца 20-х годов XX в. наибольшее влияние в М.н. приобрела концепция логического позитивизма (Шлик, Карнап, Фейгль и др.), которая исходила в понимании природы научного знания из субъективно-идеалистических воззрений Маха и логического атомизма Рассела и Витгенштейна. Логический позитивизм рассматривал науку как систему утверждений, в основе которой лежат особые "протоколь­ные" предложения, описывающие чувственные переживания и вос­приятия субъекта. Основную задачу М.н. логические позитивисты усматривали в логическом анализе языка науки с целью устране­ния из него псевдоутверждений, к которым они относили прежде всего утверждения философского характера. Концепция логическо­го позитивизма оказалась в резком противоречии с развитием на­уки и была подвергнута серьезной критике, в частности и со сторо­ны философов-марксистов. С конца 50-х годов в центре внимания М. н. оказываются пробле­мы анализа развития науки. Появляются концепции, претендую­щие на описание развития научного знания в целом или в отдель­ные периоды. Значительное влияние приобретают методологические концепции Поппера, теория научных революций Куна, историчес­кая модель развития научного знания Тулмина, концепция научно-исследовательских программ Лакатоса и т.п. Для этих концепций характерны тесная связь с историей науки и критическое отноше­ние к неопозитивистской модели науки. В современной М. н. на первый план выдвигаются следующие проблемы: анализ структуры научных теорий и их функций; поня­тие научного закона; процедуры проверки, подтверждения и опро- [199] вержения научных теорий, законов и гипотез; методы научного исследования; реконструкция развития научного знания. Несмот­ря на то что методологические исследования осуществляются на основе самых разнообразных философских школ и направлений, их результаты часто не зависят от философской ориентации ис­следователя и представляют общезначимую ценность. МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА  - совокупность логических систем, опирающихся на принцип многозначности. В классической двузначной логике выражения при интерпретации принимают только два значе­ния — "истинно" и "ложно", в М. л. рассматриваются и другие зна­чения, например "неопределенно", "возможно", "бессмысленно" и т.п. В зависимости от множества истинностных значений различают конечнозначные и бесконечнозначные логики. М. л.явля­ется одним из интенсивно развивающихся разделов логики неклас­сической. Проблема содержательно ясной интерпретации многозначных систем — наиболее сложная и спорная в М. л. Об этом выразительно говорит, в частности, обилие интерпретаций, предложенных для самой старой из этих систем — трехзначной логики Я. Лукасевича. В соответствии с одной из ее интерпретаций, высказывания должны делиться не просто на истинные и ложные, а на истин­ные, ложные и парадоксальные. Значение "парадоксально" припи­сывается высказываниям типа "Данное утверждение является лож­ным", т.е. тем высказываниям, из допущения истинности которых вытекает их ложность, а их допущения ложности — истинность. Промежуточное значение истолковывалось и как "бессмыслен­но". К бессмысленным относятся высказывания типа "Наполеон — наибольшее натуральное число" и т.п. Это значение истолковы­валось и как "неизвестно" или "неопределенно". Неопределенное высказывание — это высказывание, относительно которого в силу к.-л. (возможно, меняющихся от случая к случаю) оснований нельзя сказать, что оно истинно или ложно. К неопределенным могут от­носиться, в частности, высказывания, истинностное значение ко­торых является разным в разные моменты времени ("Идет дождь"), высказывания с различного рода переменными и т.д. Эти примеры показывают, что одна и та же многозначная си­стема может иметь разные интерпретации, причем "неестествен­ность" некоторых из них вовсе не означает, что столь же "неесте­ственной" будет и каждая иная интерпретация. М. л. не отрицает двузначную логику. Напротив, первая позволя­ет более ясно понять основные идеи, лежащие в основе второй, и является в определенном смысле ее обобщением. В большинстве М. л.   [200] отсутствуют отдельные законы двузначной логики. В принципе мож­но построить М. л., в которой не имеет места любой наперед за­данный закон двузначной логики. С другой стороны, М. л. таковы, что их законами являются утверждения, не имеющие аналогов в классической логике. Эти факты не препятствуют, однако, рассмотрению М. л. как своеобразного обобщения двузначной логики. Некоторые утвержде­ния, являющиеся логическими законами при допущении двух зна­чений истинности, перестают быть законами при введении некото­рых дополнительных значений. Но в этом случае законами М. л. не оказываются и отрицания соответствующих двузначных законов. Например, в интуиционистской логике не имеют места не только зако­ны исключенного третьего и приведения к абсурду, но и отрицания этих законов. Ни двузначность, ни многозначность не являются прирожден­ными свойствами человеческого мышления. Решение одних проблем может быть получено в рамках двузначной логики, рассуждение о других может оказаться более успешным, если опирается на тот или иной вариант М. л. Вопрос же о том, какой является формальная логика как особая наука, с точки зрения числа допускаемых значе­ний истинности не имеет смысла. Логика никогда не исчерпывалась и тем более не исчерпывается сейчас одной-единственной логичес­кой системой. Вопрос о числе допускаемых значений истинности может возникнуть только при построении отдельных логических систем и при решении отдельных логических проблем. Логика же как совокупность всего огромного числа существующих конкрет­ных логических систем не является, очевидно, ни двузначной, ни многозначной. М. л. существует около полувека. Многие ее проблемы пока не решены или недостаточно исследованы. Тем не менее уже к настоя­щему времени М. л. нашла большое число приложений, интерес­ных в теоретическом или практическом отношении. Прежде всего открытие М. л. заставило по-новому взглянуть на саму науку логи­ку, ее предмет и используемые ею методы. Оно с особой вырази­тельностью подчеркнуло тот факт, что классическая двузначная логика не является единственно мыслимой и возможной и что современная логика слагается из множества внутренне разнород­ных логических систем. Многозначные системы более богаты, чем двузначная логика: в первых имеются функции, невыразимые во второй. Так, если в двузначной логике имеются только четыре разные функции от од­ного аргумента, то в трехзначной логике их уже соответственно [201] двадцать семь. Это послужило основой попыток определить в рам­ках М. л. такие понятия, которые, будучи взяты сами по себе, не кажутся достаточно ясными и которые неопределимы в двузнач­ной логике. Речь идет прежде всего о модальных понятиях "необ­ходимо", "возможно", "случайно" и т.п. Многозначные системы использовались при построении логики квантовой механики, описывающей логическую структуру языка этой физической теории. В информационно-поисковых системах, являющихся системами записи, хранения и обработки данных, используется обычно есте­ственный язык. Выявление логической структуры инормационного поиска и построение общей теории его имитации логическими сред­ствами требует языка формализованного. Было высказано предпо­ложение, что для информационного поиска, в процессе которого нередко встречается ситуация неопределенности, целесообразно ис­пользовать М. л. МНОГОЗНАЧНОСТИ ПРИНЦИП, см.: Принцип многозначности. МНОГОЗНАЧНОСТЬ  — характеристика выражения, имеющего в разных контекстах разное значение. Например, слово "закон" может оз­начать как регулярность, имеющую место в природе или обществе, так и утверждение о такой регулярности, сформулированное в языке науки. С М. связана одна из основных трудностей понимания гово­рящими друг друга. Подавляющее большинство слов обычного язы­ка многозначно. Так, словарь современного русского литературного языка указывает семнадцать разных значений глагола "стоять"; сло­во "жизнь" имеет более тридцати значений и т.д. Между одними значениями трудно найти ч.-л. общее, между другими трудно про­вести различие. М. как естественная и неотъемлемая черта естественного языка сама по себе не является недостатком. Но она таит в себе потенци­альную возможность логической ошибки. В процессе общения всегда предполагается, что в конкретном рассуждении смысл входящих в него слов не меняется. Если речь идет, допустим, о новом как не­знакомом, пока не будет оставлена данная тема, слово "новый" должно обозначать "незнакомый", а не "следующий" или "совре­менный". Логическая ошибка, связанная с подменой значения сло­ва, называется эквивокацией. Допускается она, например, в рассужде­нии: "В грамматике достаточно знать только имена существитель­ные, т.к. глагол, наречие, прилагательное и т.д. - все это существительные". Многозначными могут быть не только отдельные слова, но и части фраз, и целые фразы. Например, высказывание "Часть программы       [202] полностью не была выполнена" может означать, что эта часть ока­залась полностью невыполненной, но может означать, что она была выполнена неполностью. Логическая ошибка, связанная с подменой одного значения высказывания другим возможным его значением, именуется амфиболией. МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ  — математическая теория, изучающая точ­ными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. — свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бес­конечных. Множество A есть любое собрание определенных и различи­мых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объек­ты называются элементами или членами множества A. Если элемент х принадлежит множеству A, то это обозначается так: хÎ А; если же х не есть элемент A, то это обозначается так: хÏА. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству В, то это записывается так: А Ì В. Множество A называется в этом случае подмножеством множества В, а отношение "Ì" — отно­шением включения множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. В приложениях М. т. часто рассматривают подмножества некоторого фиксированного множества, которое называют универсальным множеством и обозначают символом U. Важнейшими принципами М. т. являются принцип экстенсиональности и принцип свертывания (абстракции). Согласно принципу экстенсиональ­ности, два множества A и В равны только в том случае, если они состоят из одних и тех же элементов. Согласно принципу свертыва­ния, любое свойство Р определяет некоторое множество А, эле­ментами которого являются объекты, обладающие свойством Р. Объединение множеств A и В обозначается через AÈB. Объе­динение A и В есть множество всех предметов, которые являются элементами множества А или множества В, т.е. х принадлежит объединению А È В, если х принадлежит хотя бы одному из мно­жеств А и В. Пересечение множеств A и В обозначается через AÇB. Пере­сечение A и В есть множество всех предметов, являющихся элемен­тами обоих множеств A и В, т.е. х принадлежит пересечению AÇB, если х принадлежит как множеству A, так и В. Разность множеств А — В есть множество элементов A, не принадлежащих В. Дополнением множества A (обозначается A') называется множество элементов универсального множества U, не принадле­жащих A, т.е. U - А. [203] Для любых подмножеств A, В и С универсального множества U справедливы следующие важные равенства:   Некоторые из перечисленных равенств имеют специальные на­звания: 7 и 7' — законы идемпотентности, 9 и 9' — законы погло­щения, 10 и 10' — законы де Моргана. Классическая М. т. исходит из признания применимости к бес­конечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в начале XX в. выявились трудности, связанные с обнаружением парадоксов — противоречий, к которым приводит применение законов фор­мальной логики к бесконечным множествам. Дальнейшая разра­ботка М. т. была связана с уточнением понятия множества и устра­нением парадоксов. МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА  — раздел неклассической логики, в ко­тором исследуются логические связи модальных высказы­ваний, т.е. высказываний, включающих модальности. М. л. слага­ется из ряда направлений, каждое из которых занимается модаль­ными высказываниями определенного типа. Так, теория логических модальностей изучает логическое поведение высказываний, вклю­чающих модальные понятия "логически необходимо", "логически возможно", "логически случайно". Логика эпистемическая исследует высказывания, содержащие разного рода теоретико-познавательные понятия: "верифицируемо", "непроверяемо", "фальсифицируемо", "полагает", "сомневается", "отвергает" и т.п. Деонтическая логика изучает логические связи нормативных высказываний. Оценок логика занимается аксиологическими модальностями, логика времени — вре­менными модальностями и т.д. Модальные понятия разных типов имеют общие формальные свойства. Так, независимо от того, к какой группе относятся эти понятия, они определяются друг через друга по одной и той же схеме. Нечто возможно, если противоположное не является необхо­димым; разрешено, если противоположное не обязательно; допус-   [204] кается, если нет убеждения в противоположном. Случайно то, что не является ни необходимым, ни невозможным. Безразлично то, что не обязательно и не запрещено. Неразрешимо то, что недока­зуемо и неопровержимо, и т.п. Подобным же образом сравнительные модальные поня­тия разных групп определяются по одной и той же схеме: "первое лучше второго" равносильно "второе хуже первого", "первое рань­ше второго" равносильно "второе позже первого", "первое при­чина второго" равносильно "второе следствие первого" и т.д. В каждом направлении М. л. доказуема своя версия принципа модальной полноты, являющегося модальным аналогом за­кона исключенного третьего. В теории логических модальностей прин­цип полноты утверждает, что каждое высказывание является или необходимым, или случайным, или невозможным; в деонтической логике — что всякое действие или обязательно, или нормативно без­различно, или запрещено; в логике оценок — что всякий объект явля­ется или хорошим, или оценочно безразличным, или плохим и т.д. В каждом направлении М. л. есть и своя версия принципа модальной непротиворечивости, являющегося модаль­ным аналогом закона непротиворечия: высказывание не может быть как обязательным, так и запрещенным; объект не может быть и хорошим, и плохим, и т.д. Модальные понятия, относящиеся к разным группам, имеют разное содержание. При сопоставлении таких понятий (например, "не­обходимо", "доказуемо", "убежден", "обязательно", "хорошо", "все­гда") складывается впечатление, что они не имеют ничего общего. Однако М.л. показывает, что это не так. Модальные понятия разных групп выполняют одну и ту же функцию: они уточняют устанавли­ваемую в высказывании связь, конкретизируют ее. Правила их упот­ребления определяются только этой функцией и не зависят от со­держания высказываний. Поэтому данные правила являются еди­ными для всех групп понятий и имеют чисто формальный характер. В последние десятилетия М.л. бурно разрастается, включая в свою орбиту все новые группы модальных понятий. Существенно усовершенствованы способы ее обоснования. Это придало М.л. но­вый динамизм и поставило ее в центр современных логических исследований (см.: Логика изменения, Предпочтений логика, При­чинности логика). МОДАЛЬНОСТЬ (от лат., modus — мера, способ)  — оценка выска­зывания, данная с той или иной точки зрения. Модальная оценка выражается с помощью понятий "необходимо", "возможно", "до­казуемо", "опровержимо", "обязательно", "разрешимо" и т.п. [205] О предмете S можно просто сказать, что он имеет свойство Р. Но можно, сверх того, уточнить, является ли эта связь S и Р необ­ходимой или же она случайна, всегда ли S будет Р или нет, хорошо ли, что S есть Р, или плохо, доказано ли, что S есть Р, или это только предполагается и т.д. Результатами таких уточнений будут модальные высказывания разных типов. Общая их форма: М (S есть Р) или М (S не есть Р); вместо М в эту форму могут подставляться различные понятия, определяющие тип связи субъекта и предика­та. Например, из немодального высказывания "Цезий — металл" можно образовать модальные высказывания "Возможно, что цезий — ме­талл", "Хорошо, что цезий — металл", "Немыслимо, чтобы цезий был металлом", "Доказано, что цезий — металл" и т.д. Модальной оценке могут быть подвергнуты не только связи предметов и при­знаков, но и связи других типов. Например, из сложного высказывания "Если металлический стержень нагреть, он удлинится" можно по­лучить модальные высказывания "Необходимо, что если металли­ческий стержень нагреть, он удлинится", "Всегда будет так, что металлический стержень удлиняется, если его нагреть" и т.п. Одно и то же высказывание может стать объектом нескольких последовательных модальных оценок с одной или разных точек зре­ния ("Хорошо, что доказано, что цезий — металл"). Логические связи модальных высказываний являются объек­том исследования модальной логики. Из разнообразных возможных типов модальных оценок она выбирает немногие, наиболее инте­ресные. В современной модальной логике исследуются следующие груп­пы модальных понятий: >> логические М. (абсолютные: "логически необходимо", "ло­гически случайно", "логически возможно", "логически невозмож­но"; сравнительные: "логически влечет", "есть логическое следствие"); >> физические (онтологические, каузальные) М. (абсолют­ные: "физически необходимо", "физически случайно", "физически невозможно", "физически возможно"; сравнительные: "есть причи­на", "есть следствие", "не является ни причиной, ни следствием"); >> теоретико-познавательные (эпистемические) М. (от­носящиеся к знанию: "доказуемо", "опровержимо", "неразреши­мо"; относящиеся к убеждению: "убежден", "сомневается", "отвер­гает", "допускает"; связанные с истинностной характеристикой, абсолютные: "истинно", "ложно", "неопределенно"; сравнитель­ные: "вероятнее", "менее вероятно", "равновероятно"); >> деонтические (нормативные) М. ("обязательно", "нор­мативно безразлично", "запрещено", "разрешено");   [206] >> аксиологические (оценочные) М. (абсолютные: "хоро­шо", "аксиологически безразлично", "плохо"; сравнительные: "луч­ше", "равноценно", "хуже"); >> временные М. (абсолютные: "было", "есть", "будет"; срав­нительные: "раньше", "одновременно", "позже"). Логические М. изучались еще Аристотелем (384—322 до н.э.) и средневековыми логиками. Детальное исследование других групп М. началось в 50-е годы нашего века, хотя первые упоминания о них относятся еще к поздней античности и средним векам (см.: Аксио­логические М., Деонтические М., Логика времени, Логика измене­ния, Эпистемическая логика, Предпочтений логика, Причинности логика). МОДЕЛЬ (от лат. modulus — мера, образец, норма)  — а) в самом широком смысле — любой мысленный или знаковый образ модели­руемого объекта (оригинала). К их числу относятся гносеологиче­ские образы (воспроизведение, отображение исследуемого объек­та или системы объектов в виде научных описаний, теорий, фор­мул, систем упражнений и т.п.), схемы, чертежи, графики, планы, карты и т.д.; б) специально создаваемый или специально подби­раемый объект, воспроизводящий характеристики изучаемого объекта. Большую роль в современной науке играют т.наз. знако­вые М., позволяющие в виде формул, уравнений, графиков и т.п. отображать существенные отношения между изучаемыми предме­тами, явлениями, различные процессы. Пример знаковой М. — дифференциальное уравнение в математике, описывающее (мо­делирующее) протекание во времени к.-л. физического процесса. Знаковые М. широко используются в информатике при создании соответствующих программ для ЭВМ; к их числу принадлежат М., воспроизводящие решение сложных задач, специфических для деятельности человеческого мозга и имеющих творческий характер (М., относимые в информатике к искусственному ин­теллекту). Между М. и изучаемым объектом (оригиналом), кото­рый может представлять собой весьма сложную систему, должно существовать сходство в каких-то физических характеристиках, или в структуре, или в функциях (см.: Моделирование). В математической логике под М. понимается интерпретация к.-л. логико-математических предложений и их систем. В разрабатыва­емой в математической логике теории М. под М. понимается про­извольное множество элементов с определенными на нем функ­циями и предикатами (см.: Семантика логическая). Понятие М. яв­ляется одним из центральных и сложных понятий теории познания, поскольку оно опирается на понятие отражения, истины, сход- [207] ства, различия, правдоподобия и т.п.; роль его в методологии науки огромна. МОДЕЛЬ СЕМАНТИЧЕСКАЯ  - система значений, приписыва­емых выражениям некоторого формализованного языка, то же, что интерпретация. Логические системы часто строятся в виде фор­мального исчисления, принимающего во внимание лишь внешний вид формул и символов. Исчисление превращается в язык после того, как его символом придано некоторое значение и указана область объектов, к которой относятся его выражения и формулы. После этого мы можем говорить об истинности и ложности фор­мул исчисления. М. с. как раз и называют систему значений или область объектов, которые превращают формулы логического ис­числения в истинные или ложные утверждения. МОДУС (лат. modus - мера, способ, образ, вид)  - философский термин, обозначающий свойство предмета, присущее ему только в некоторых состояниях и зависящее от окружения предмета и тех связей, в которых он находится. М. противопоставляется атрибу­ту— неотъемлемому свойству предмета, без которого он не может ни существовать, ни мыслиться. В логике М. - разновидность некоторой общей схемы рассуж­дения. Чаще всего говорят о М., или формах, силлогизма (пра­вильных и неправильных). К М., скажем, гипотетического силло­гизма относятся М. поненс и М. толленс, к М. дизъюнктивного сил­логизма — М. толлендо поненс и М. понендо толленс. МОДУС ПОНЕНДО ТОЛЛЕНС (лат. modus ponendo tollens)  - тер­мин средневековой логики, обозначающий следующие схемы рас­суждения: Либо A, либо В; А.     и   Либо A, либо В; В.   Неверно В.   Неверно A.   Здесь A и В — некоторые высказывания; "либо A, либо В" и "A" — посылки; "неверно, что B" ("не-В") — заключение; горизонталь­ная черта стоит вместо слова "следовательно". Другая запись: Либо A, либо В. А. Следовательно, не-В. Либо A, либо В. В. Следовательно, не-А. Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключа­ющих альтернатив и установления того, какая из них имеет мес­то, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое, значит, второго нет. Например:   [208] Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге. Он родился в Москве.______ Неверно, что Достоевский родился в Петербурге. Дизъюнкция, входящая в М. п. т., является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (пер­вое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например: На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт. На Южном полюсе был Амундсен. Неверно, что там был Скотт. Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаклю­чение: На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт. На этом полюсе первым был Амундсен._______ Неверно, что там первым был Скотт. МОДУС ПОНЕНС (лат. modus ponens)  — термин средневековой логики, обозначающий правило вывода и соответствующий ему логический закон. Правило вывода М. п., обычно называемое правилом от­деления (иногда гипотетическим силлогизмом), по­зволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания: Если А, то В; А. В. Здесь A и В — некоторые высказывания, "если А, то В" и "A" — посылки, "B" - заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова "следовательно". Другая запись: Если А, то В. А. Следовательно, В. Благодаря этому правилу от посылки "если А, то В", используя посылку "A", мы как бы отделяем заключение "B". Например: Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура. Человек болен. [209] Это правило постоянно используется в наших рассуждениях. Впервые оно было сформулировано, насколько можно судить, учеником Аристотеля Теофрастом еще в III в. до н.э. Соответствующий правилу отделения логический закон с исполь­зованием символики логической формулируется так (р, q — некоторые высказывания; & — конъюнкция, "и"; -> импликация, "если, то"): ((p->q)&p)->q, если верно, что если р, то q, и р, то верно q. Например: "Если при дожде земля мокрая и идет дождь, то земля является мокрой". Рассуждение по правилу М.п. идет от утверждения основа­ния истинного условного высказывания к утверждению его след­ствия. Это логически корректное движение мысли иногда пута­ется со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания. Например, правильным является умо­заключение: Если висмут — металл, он проводит электрический ток. Висмут — металл. _______________ Висмут проводит электрический ток. Но внешне сходное с ним умозаключение Если висмут — металл, он проводит электрический ток. Висмут проводит электрический ток. Висмут — металл. логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Например: Если у человека повышенная температура, он болен. Человек болен.________________________ У него повышенная температура. Многие болезни, как известно, протекают без повышения темпе­ратуры; из наличия болезни нельзя заключать о повышении тем­пературы. Истинность посылок не гарантирует истинности заклю­чения. Против смешения правил М. п. с указанной неправильной схе­мой предостерегает совет: от подтверждения основания к под­тверждению следствия рассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания — нет. МОДУС ТОЛЛЕНДО ПОНЕНС (лат. modus tollendo ponens)  - тер­мин средневековой логики, обозначающий разделительно-кате-   [210] горическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит, второе. Первая посылка умозаключения - разделительное (дизъ­юнктивное) высказывание; вторая — категорическое высказыва­ние, отрицающее один из двух членов дизъюнкции; заключением является другой ее член: А или В; неверно A. В. Или:   A или В; неверно В. А.   Здесь A и В — некоторые высказывания, черта стоит вместо слова "следовательно". Другая форма записи: А или В. Не-А. Следовательно, В. А или В. Не-В. Следовательно, A. Например: Множество является конечным или оно бесконечно. Множество не является конечным.__________ Множество бесконечно. Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом. С использованием символики логической умозаключение форму­лируется так (v — дизъюнкция, "или"; ~ — отрицание, "неверно, что"): A v B, ~ A. В. Или: a v b, ~ b А. В современной логике М.т.п. называется также правилом удаления дизъюнкции. МОДУС ТОЛЛЕНС (лат. modus tollens)  - термин средневековой логики, обозначающий следующую схему рассуждения: Если A, то В; неверно В. Неверно А. Здесь A и В — некоторые высказывания; "если А, то В" и "неверно, что В" ("не-В") - посылки; "неверно, что A" ("не-A") — заключе- [211] ние; горизонтальная черта стоит вместо слова "следовательно". Другая запись: Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А. Посредством этой схемы от утверждения условного высказы­вания и отрицания его следствия (консеквента) осуществляется переход к отрицанию основания (антецедента) данного выска­зывания. Например:   Если гелий — металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Гелий — не металл.   МЫШЛЕНИЕ  — активный процесс отражения объективного мира в понятиях, суждениях, научных теориях, гипотезах и т.п., име­ющий опосредованный, обобщенный характер, связанный с реше­нием нетривиальных задач; высший продукт особым образом орга­низованной материи — человеческого мозга. М. опосредствовано: а) ощущениями и восприятиями, на базе которых формируется мыс­лительный акт; б) прошлым опытом, благодаря чему внешние при­чины (объекты познания) отражаются в голове человека через по­средство внутренних условий (накопленного ранее опыта); в) по­знанием чувственно воспринимаемого, непосредственно наблюда­емого, на основе анализа которого человек отражает в М. такие стороны действительности, которые не даны ему в непосредствен­ном опыте (например, с помощью М. человек формирует понятия о причинной связи, точке, бесконечности и т.п., которые не даны ему в непосредственном опыте). Обобщенный характер М. (см.: Обоб­щение) в своей развитой форме специфичен лишь для человека. Обоб­щенность М. выявляется в способности человека познавать общие характеристики предметов в единичном, осуществлять переходы от менее общего к более общему (см.: Тождество), формировать об­щие понятия, общие суждения (см.: Суждение), законы, нормы, научные теории и т.п. Способность к решению нетривиальных за­дач означает, что М., как и процесс трудовой деятельности, лежа­щий в основе формирования мыслительной деятельности, являет­ся целеустремленным, активным, связанным с открытием нового, с принятием соответствующих решений, с подчинением ближай­шей цели конечному результату, с изобретением и применением различных мыслительных средств для достижения этого результата. Механизмы М. исследуются различными науками: психологией, физиологией высшей нервной деятельности, логикой, кибернети­кой и др. Характерным для логико-гносеологических исследований М. является изучение его в связи с проблемами адекватного отраже-   [212] ния изучаемых объектов в мысли, в связи с задачами достижения истины в процессе познания, в связи с теми приемами и проце­дурами, правильное использование которых является необходи­мым условием достижения верного, истинного знания. Важной задачей философско-гносеологических исследований М. является изучение его исторического развития, его форм как средств по­знания, социальных детерминаций познания. М. неразрывно свя­зано с мозгом, но не может быть полностью объяснено физиоло­гией высшей нервной деятельности. М. - продукт не только био­логической эволюции человека, но и его развития как обществен­ного существа. М. возникло в процессе коллективной трудовой деятельности людей. Оно имеет общественную природу и по осо­бенностям своего возникновения, и по способу функционирова­ния. М. человека осуществляется в теснейшей связи с речью; его результаты фиксируются в языке. М. свойственны такие процес­сы, как абстракция, анализ и синтез, формулирование задач и поиски их решения, идеализация, усмотрение в изучаемых объек­тах неочевидных сходств и различий, обобщение, формирование понятий различных уровней абстракции и обобщенности, объяс­нение и обоснование полученных в ходе изучения действительно­сти результатов, выдвижение гипотез и т.п. Важной формой обес­печения способности М. к опосредствованному отражению дей­ствительности является использование умозаключений, на основе которых, опираясь на приобретенный опыт и правила логики, мы можем получать новые знания. Научные теории являются кон­центрированной фиксацией знаний о тех или иных сторонах, ас­пектах изучаемой действительности и отправной точкой для ее дальнейшего исследования. В последнее время важный вклад в наше понимание механизмов М. вносит кибернетика. [213]   Оглавление   www.pseudology.org